что называется пружинным маятником

Содержание:

Пружинные и математические маятники:

Тело или система тел, совершающие периодические колебательные движения, называются маятниками. Большинство колебательных движений, встречающихся в природе, напоминают движение пружинных и математических маятников.

Система, состоящая из груза массой

Если немножко растянуть пружину и отпустить, то груз придет в колебательное движение в вертикальном направлении.
С помощью опытов мы определили, что смещение груза в зависимости от времени изменяется следующbм образом:

Если учесть, что ускорение тела, совершающего гармонические колебания , то уравнение (5.10) примет вид:

Из этого уравнения мы имеем:

Значит, частота циклического колебания тела, совершающего гармоническое колебание, зависит от параметров тел, входящих в систему колебания. Формула (5.12) называется формулой для
определения циклической (периодической) частоты пружинного маятника.

Период колебания пружинного маятника прямо пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению массы груза и обратно пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению упругости пружины.
Рассмотрим обмен энергиями в пружинном маятнике. Кинетическая энергия маятника, если не учитывать массу пружины, равна кинетической энергии груза, . В предыдущих темах было показано, что скорость можно выразить формулой . В таком случае кинетическая энергия маятника равна

Потенциальная энергия пружинного маятника равна энергии деформации пружины, т.е.:

В большинстве случаев важно знать полную энергию системы:

Если учесть, что ,

Обратите внимание, что полная энергия пружинного маятника является постоянной величиной, не зависящей от времени, т.е. соблюдается выполнение закона сохранения механической энергии.
Материальная точка, подвешенная на нерастяжимой и невесомой нити и совершающая периодическое колебательное движение вокруг равновесного состояния, называется математическим маятником.

Когда маятник находится в устойчивом равновесном состоянии, вес материальной точки уравновешивает силу натяжения (рис. 5.4), так как их модули равны и направлены по одной линии в противоположные стороны. Если наклонить маятник на угол , силы и не смогут уравновесить друг друга из-за взаимного расположения под углом. В результате сложения таких сил появится возвращающая сила, которая вернет маятник в равновесное состояние. Если отпустить маятник, то под воздействием возвращающей силы он начинает двигаться в сторону равновесного состояния.

Из рис. 5.4. видим, что:

Согласно второму закону Ньютона, сила придает материальной точке ускорение , поэтому

Из-за того, что угол наклона очень маленький , а сила направлена противоположно смещению, формулу (5.19) можно записать в виде

Если смещение материальной точки (шарика) во время колебательного процесса отметить буквой и учитывать соотношение , получим
Следовательно
Исходя из смысла периода колебания и учитывая, что получаем

Эта формула, определяющая период колебания математического маятника, называется формулой Гюйгенса. Отсюда вытекают следующие законы математического маятника:

Отсюда колебание математического маятника записывается следующим выражением:

Следует отметить, что когда амплитуда колебания или угол наклона велики, колебания математического маятника не являются гармоническим. В этом случае нельзя считать и для решения уравнения движения не применяется закон синусов или косинусов.

Пример:

Период колебания первого маятника равен 3 сек, второго – 4 сек. Найдите период колебания маятника с длиной, равной сумме длин этих маятников.

Решение:

Ответ: 5 cек.

Пружинный и математический маятники

Второй закон Ньютона (основной закон динамики): ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально равнодействующей всех сил, действующих на нее, и обратно пропорционально массе материальной точки:

Закон Гука: модуль силы упругости , возникающей в теле при упругих деформациях, прямо пропорционален его абсолютному удлинению (сжатию) :

где k — жесткость тела, — длина недеформированного тела, l — длина деформированного тела.

Рассмотрим пружинный маятник, представляющий собой колебательную систему, образованную грузом на пружине.

Пусть груз массой т, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплен к свободному концу невесомой пружины жесткостью k (рис. 3). Второй конец пружины закреплен относительно данной инерциальной системы отсчета (ИСО).

Выведем груз из положения равновесия, сместив его на расстояние х вправо. В пружине возникнет сила упругости направленная влево.

Запишем второй закон Ньютона для движения груза:

В проекции на ось Ох действующих на груз сил с учетом закона Гука получаем

или

Это уравнение аналогично уравнению гармонических колебаний

Сравнивая эти два уравнения, находим циклическую частоту колебаний пружинного маятника:

Тогда период колебаний пружинного маятника можно найти по формуле

Как следует из полученной формулы, период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды его колебаний (в пределах выполнимости закона Гука).

Свойство независимости периода колебаний маятника от амплитуды называется изохронностью (от греческих слов , — равный и — время). Таким образом, колебания пружинного маятника обладают свойством изохронности.

Изохронность колебаний маятника была открыта Галилео Галилеем в 1583 г. при изучении движения грузика, подвешенного на нити. Моделью данной колебательной системы является математический маятник.

Математическим маятником называется материальная точка массой т, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной l в поле каких-либо сил, например силы тяжести Земли (рис. 4).

Математический маятник — это идеализированная модель реального маятника при условии, что длина нити намного больше размеров подвешенного на ней тела и масса нити намного меньше массы тела. Кроме того, деформацией нити можно пренебречь.

Галилео Галилей экспериментально определил, что период малых колебаний (9

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Пружинный маятник: период и амплитуда колебаний, формула, жесткость

Пружинным маятником в физике называют систему, совершающую колебательные движения под действием силы упругости.

Приняты следующие обозначения:

Общий вид маятника:

Особенностями пружинных маятников являются:

Свободные колебания

Амплитуда x m и начальная фаза φ 0 находят при помощи способа, который вывел их из состояния равновесия начального момента времени.

Амплитуда x m с начальной фазой φ 0 определяются наличием начальных условий.

Данное выражение не соответствует закону Гука для деформации кручения. Величина x аналогична k жесткости пружины. Запись второго закона Ньютона для вращательного движения диска принимает вид

Применение крутильного маятника замечено в механических часах. Он получил название балансира, в котором создание момента упругих сил производится при помощи спиралевидной пружины.

Звук – это колебания упругой среды, воспринимаемые органом слуха.

Условия, необходимые для возникновения и ощущения звука:

Звуковые волны – это упругие волны, вызывающие у человека ощущение звука, представляющие собой зоны сжатия и разряжения, передающиеся на расстояние с течением времени.

Классификация звуковых волн:

Скорость звука – это скорость распространения фазы колебания, т. е. области сжатия и разряжения среды.

Музыкальный звук – это звук, издаваемый гармонически колеблющимся телом. Каждому музыкальному тону соответствует определенная длина и частота звуковой волны.Шум – хаотическая смесь тонов.

Автоколебания

Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.

У автоколебательной системы есть три важных составляющих:

Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик).

При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения.

Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.

Формула для расчета периода колебаний пружинного маятника

Сообщение от администратора:

Ребята! Кто давно хотел выучить английский?Переходите по моей ссылке и получите два бесплатных урока в школе английского языка SkyEng! Занимаюсь там сам — очень круто. Прогресс налицо.

В приложении можно учить слова, тренировать аудирование и произношение.

Попробуйте. Два урока бесплатно по моей ссылке! Жмите СЮДА

Период пружинного маятника — зависит от жёсткости пружины: с увеличением коэффициента жёсткости пружины период колебания маятника уменьшается

Пружинный маятник — это груз, колеблющийся на пружине. Он совершает возвратно-поступательное движение. Пружинный маятник подчиняется законам движения, по которым можно определить период его колебаний, зная массу груза и жесткость пружины. Период колебаний пружинного маятника не зависит от места его расположения и амплитуды колебаний.

Формула периода колебаний пружинного маятника

Уравнение колебаний пружинного маятника

Рассмотри вертикальное движение груза, которое обусловлено действием силы тяжести и силы упругости пружины. В состоянии равновесия такой системы, сила упругости равна по величине силе тяжести.

Связь между внутренней энергией тела кинетической и потенциальной энергиями

Между кинетической и потенциальными понятиями есть определенная взаимосвязь. Для расчета подобной связи используется следующая формула: А=Fs=mav 2 2-v 2 1/2a.

Оба значения применяются в качестве полезного действия, могут варьировать в достаточно большом диапазоне, а также зависеть от различных факторов.

В заключение отметим, что проводимые расчеты позволяют выбрать наиболее подходящий вариант исполнения изделия для конкретного механизма. При исследовании проводится отображение схемы, на которой можно увидеть распространение всех сил.

Пружинный маятник, формулы и примеры

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Не можете решить контрольную?! Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Рис.1. Пружинный маятник: а) в положении равновесия; б) в состоянии колебаний

Когда пружина не деформирована, тело находится в положении равновесия (рис.1,а). Если растянув или сжав пружину, вывести тело из положения равновесия, на него будет действовать сила упругости со стороны деформированной пружины. Эта сила направлена к положению равновесия и в данном случае является возвращающей силой.

Сила упругости в пружинном маятнике

В положении, соответствующем максимальному отклонению тела от положения равновесия (смещение тела равно амплитуде колебаний) сила упругости максимальна, поэтому максимально и ускорение тела.

По мере приближения тела к положению равновесия удлинение пружины уменьшается, и, следовательно, уменьшается ускорение тела, которое обусловлено силой упругости. Достигнув положения равновесия, тело не остановится, хотя в этот момент сила упругости равна нулю.

Скорость тела в момент прохождения им положения равновесия имеет максимальное значение, и тело по инерции будет двигаться дальше, растягивая пружину. Возникающая при этом сила упругости будет тормозить тело, так как теперь она направлена в сторону, противоположную движению тела.

Дойдя до крайнего положения, тело остановится и начнет движение в противоположном направлении. Движение тела будет повторяться в описанной последовательности.

Таким образом, причинами свободных колебаний пружинного маятника является сила упругости деформированной пружины (возвращающая сила) и инертность тела.

Период свободных колебаний пружинного маятника

Период свободных колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

Примеры решения задач

Формулы пружинного маятника

Пружинным маятником называют систему, которая состоит из упругой пружины, к которой прикреплен груз.

Уравнения колебаний пружинного маятника

Пружинный маятник, совершающий свободные колебания является примером гармонического осциллятора. Допустим, что маятник совершает колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза имеет вид:

[x=A_0t+varphi
ight)=A_0t+_1
ight) > >left(2
ight),] [Re ilde=Releft(Acdot exp left(ileft(_0t+varphi
ight)
ight)
ight)left(3
ight).]

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

Если в упругих колебаниях выполняется закон Гука, то период колебаний пружинного маятника вычисляют при помощи формулы:

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Энергия колебаний пружинного маятника

При одномерном движении пружинного маятника между двумя точками его движения существует только один путь, следовательно, выполняется условие потенциальности силы (любую силу можно считать потенциальной, если она зависит только от координат). Так как силы, действующие на пружинный маятник потенциальны, то можно говорить о потенциальной энергии.

Пусть пружинный маятник совершает колебания в горизонтальной плоскости (рис.2). За ноль потенциальной энергии маятника примем положение его равновесия, где поместим начало координат. Силы трения не учитываем. Используя формулу, связывающую потенциальную силу и потенциальную энергию для одномерного случая:

Примеры задач с решением

Решение. Сделаем рисунок.

В соответствии с (1.1) приравняем правые части (1.2) и (1.3), имеем:

Читать дальше: формулы равноускоренного прямолинейного движения.

Пружинный маятник: период и амплитуда колебани1, формула, жесткость

Выделяют несколько различных видов пружинного маятника. Стоит учитывать, что классификация может проводится по типу устанавливаемой пружины. Среди особенностей отметим:

Рассчитывается движение пружинного маятника можно при использовании достаточно большого количества различных формул, который должны учитывать воздействие всех сил. В большинстве случаев устанавливается классическая пружина. Среди особенностей отметим следующее:

Свободные колебания пружинного маятника

Рассматривая то, чем вызваны свободные колебания пружинного маятника следует уделить внимание действию внутренних сил. Они начинают формироваться практически сразу после того, как телу было передано движение

Особенности гармонических колебаний заключаются в нижеприведенных моментах:

Не стоит забывать о том, что существует просто огромное количество различных видов систем, в которых осуществляется движение колебательного характера. В них также возникает упругая деформация, которая становится причиной применения для выполнения какой-либо работы.

Физика. 11 класс

Совокупность нескольких тел образуют механическую систему. Тела, не входящие в систему, называются внешними.Второй закон Ньютона (основной закон динамики): ускорение, приобретаемое телом под действием приложенных к нему сил, обратно пропорционально массе тела, направлено по результирующей этих сил и прямо пропорционально ее модулю:

где k — жесткость тела, — длина недеформированного тела, l — длина деформированного тела. Направление силы упругости всегда противоположно направлению смещения при деформации.

Какие условия необходимы для возникновения колебаний?

Результаты опытов показывают, что для возникновения и существования механических колебаний тело изначально необходимо привести в движение.

Это можно сделать, отклоняя его от положения равновесия или придавая ему начальную скорость посредством толчка. Этим отклонением или толчком определяется амплитуда колебаний.

Кроме того, при выведении тела из положения равновесия в колеблющейся системе должна возникать результирующая сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия.

Простейшая колебательная система, состоящая из тела с прикрепленной к нему пружиной, связывающей тело и опору, называется пружинным маятником. Пружина может располагаться как горизонтально (горизонтальный пружинный маятник), так и вертикально (вертикальный пружинный маятник).

Рассмотрим колебания горизонтального пружинного маятника.

Пусть тело массой m, лежащее на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплено к свободному концу невесомой пружины жесткостью k (рис. 13, а). Второй конец пружины прикреплен к неподвижной опоре.

Выведем тело из положения равновесия, сместив его, например, вправо на расстояние x (см. рис. 13, б). При этом согласно закону Гука возникнет сила упругости приложенная к телу и направленная влево.

Согласно второму закону Ньютона будет выполняться равенство:

С учетом закона Гука из (1) получаем уравнение для проекций величин на ось Ox (см. рис. 13, б):

Согласно (2) ускорение тела массой m пропорционально действующей силе и направлено к положению равновесия. При этом возникают колебания тела. Каждые полпериода направление движения меняется на противоположное. Смещение груза происходит то вправо, то влево относительно положения равновесия, т. е. оно меняет знак. Следовательно, и сила согласно (2) тоже меняет знак.

Перепишем полученное соотношение (2) в виде:

Уравнение (3) называется уравнением гармонических колебаний пружинного маятника.Следовательно, необходимым условием возникновения гармонических колебаний является действие возвращающей силы, направленной к положению равновесия и прямо пропорциональной смещению тела от положения равновесия.

Эта возвращающая сила всегда направлена к положению равновесия, о чем «говорит» минус в уравнении (2).В положении равновесия возвращающая сила равна нулю ( = 0), так как x = 0. Поэтому если в этом положении колеблющееся тело остановить, то колебания исчезнут.

Расчеты показывают, а результаты экспериментов подтверждают, что при описанных условиях тело будет совершать колебания с периодом:

Из формул (4) и (5) следует, что период и частота гармонических колебаний пружинного маятника определяются массой груза m и жесткостью пружины k и не зависят от амплитуды его колебаний.

Отметим, что период и циклическая частота колебаний вертикального пружинного маятника (рис. 14) также определяются по формулам (4) и (5).

Одной из наиболее распространенных колебательных систем является математический маятник.

Математическим маятником называется небольшое тело массой m, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити длиной l, находящееся в поле силы тяжести (рис. 15).

Рассмотрим колебания математического маятника.

Под действием этих сил тело движется ускоренно к положению равновесия (точка B). Пройдя точку B, тело продолжает двигаться, но его скорость постепенно уменьшается, обращаясь в нуль в точке, симметричной точке А относительно вертикали. После этого оно начинает двигаться обратно к точке B.

Согласно второму закону Ньютона для движения маятника можем записать:

В проекциях на выбранные оси координат Ox и Oy (см. рис. 16) получаем:

где — проекция ускорения, сообщаемого грузу маятника силой упругости нити.Откуда получаем уравнение колебаний математического маятника:

Сравнивая соотношения (10), (3) и (5), легко получить формулу для циклической частоты математического маятника в поле тяжести Земли:

Период малых колебаний математического маятника в поле тяжести Земли определяется по формуле Гюйгенса:

Используя соотношения (5) и (11), уравнение колебаний пружинного маятника и математического маятника можно записать в одинаковом виде:

Таким образом, зависимости координат от времени x(t), описываемые уравнениями (5) и (6) из § 1, удовлетворяют уравнению (13), которое называется уравнением гармонических колебаний.

Как видно из формул (11), (12), период и циклическая частота малых колебаний математического маятника не зависят от массы маятника и амплитуды его колебаний, а определяются только его длиной и ускорением свободного падения.

Галилео Галилей первый экспериментально определил, что период малых колебаний () математического маятника длиной l в поле силы тяжести не зависит от его массы m и амплитуды колебаний (угла начального отклонения a).

Одним из важнейших достижений Х. Гюйгенса было изобретение часов с маятником. Он запатентовал свое изобретение 16 июля 1657 г. В 1673 г. вышло в свет его сочинение «Маятниковые часы», в котором были изложены теоретические основы его изобретения. Именно постоянство периода (частоты) колебаний маятника позволило использовать его для создания часов.

Повышенный интерес к гармоническим колебаниям объясняется тем, что они широко распространены в науке и технике (маятники, музыкальные инструменты, свет, переменные токи и т. д.).

Кроме того, гармонические колебания имеют простое математическое описание, а их период не зависит от амплитуды.

Подчеркнем, что любое периодическое движение можно рассматривать как результат наложения простых гармонических составляющих.

Свойство независимости периода колебаний маятника от амплитуды называется изохронностью (от греческих слов εσος (изос) — равный и χρονος (хронос) — время). Следовательно, колебания пружинного маятника обладают свойством изохронности. Изохронность колебаний маятника была открыта Галилео Галилеем в 1583 г. при изучении движения груза, подвешенного на нити.

Пружинный маятник — формулы и уравнения нахождения величин

Пружинный маятник — колебательная система, которая состоит из тела, подвешенного к пружине. Эта система способна к совершению свободных колебаний.

Подобные системы довольно широко распространены за счет своей функциональной гибкости. Механизмы на основе таких маятников часто используются как элементы средств автоматики.

В том числе они нашли применение в контактных взрывателях различных боеприпасов, в качестве акселерометров в контурах управления ракет. Так же они активно используются в предохранительных клапанах, устанавливаемых в трубопроводах.

Что такое пружинный маятник

Пружинным маятником в физике называют систему, совершающую колебательные движения под действием силы упругости.

Приняты следующие обозначения:

Общий вид маятника:

Особенностями пружинных маятников являются:

Сочетание тела и пружины. Массой пружины обычно в расчетах пренебрегают. Роль тела могут играть различные объекты. На них оказывают действие внешние силы. Груз может крепиться разными способами. Витки пружины, которыми она начинается и заканчивается, изготавливают с учетом повышенной нагрузки;

У любой пружины есть исходное положение, предел сжатия и растяжения. При максимальном сжатии зазора между витками нет. Когда она максимально растянута, возникает необратимая деформация;

Полная механическая энергия появляется с началом процесса обратимого деформирования. В этот момент на объект не оказывает действие сила упругости;

Колебательные движения происходят под влиянием силы упругости. Масштаб влияния определяется несколькими причинами (тип сплава, расположение витков и т. д.). Так как может происходить и сжатие и растяжение, можно сделать вывод, что сила упругости действует в двух противоположных направлениях;

От массы тела, величины и направления прикладываемой силы зависит скорость в плоскости его перемещения. Например, если подвесить груз к пружине и, растянув её, отпустить, то груз будет перемещаться в двух плоскостях: вертикально и горизонтально.

Виды пружинных маятников

Существует два типа данной системы:

Вертикальный маятник — на тело довольно сильно влияет сила тяжести. Это влияние обуславливает увеличение инерционных движений, которые совершает тело в исходной точке.

Горизонтальный — в таком варианте при движении на груз начинает действовать сила трения, возникающая по причине того, что груз лежит на поверхности.

Сила упругости в пружинном маятнике

До начала деформирования пружина находится в равновесном состоянии. Прикладываемое усилие может как растягивать, так и сжимать её.

Применяя к пружинному маятнику закон сохранения энергии, мы можем рассчитать силу упругости в нем. Упругость прямо пропорциональна расстоянию, на которое сместился груз.

Уравнения колебаний пружинного маятника

Период и частота свободных колебаний пружинного маятника

При разработке проектов всегда определяется период колебаний и их частота. Для их измерения используются известные в физике формулы.

Факторы, от которых зависит частота:

Коэффициент упругости. На этот коэффициент влияет количество витков, их диаметр, расстояние между ними, длина пружины, жесткость используемого сплава и т. д.

Масса груза. От этого фактора зависит возникающая инерция и скорость перемещения.

Амплитуда и начальная фаза пружинного маятника

Энергия пружинного маятника

При рассмотрении колебания тел учитывают, что груз движется прямолинейно. Полная механическая энергия тела в каждой точке траектории является константой и равняется сумме его потенциальной энергии и кинетической энергии.

Расчет имеет особенности. При его проведении нужно учитывать несколько условий:

Колебания проходят в двух плоскостях: вертикальной и горизонтальной.

В качестве равновесного положения выбирается ноль потенциальной энергии. Находясь в этом положении пружина сохраняет свою форму.

Влияние силы трения при расчете не учитывают.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний пружинного маятника

Отметим, что пружинный маятник — это обобщенное определение. Скорость движения груза (тела) напрямую зависит от комплекса условий, в том числе приложенного к нему усилия.

Источник