среднее арифметическое для чего используется

Среднее арифметическое

Предложена (наряду со средним геометрическим и средним гармоническим) ещё пифагорейцами.

Частными случаями среднего арифметического являются среднее (генеральной совокупности) и выборочное среднее (выборки).

При стремлении количества элементов множества чисел стационарного случайного процесса к бесконечности среднее арифметическое стремится к математическому ожиданию случайной величины.

Связанные понятия

Упоминания в литературе

Связанные понятия (продолжение)

Центра́льные преде́льные теоре́мы (Ц. П. Т.) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.

В теории вероятностей два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Аналогично, две случайные величины называют независимыми, если известное значение одной из них не дает информации о другой.

Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остаётся неизменным.

В теории вероятностей случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, если она принимает конечное число значений с равными вероятностями.

Для определения средних или наиболее типичных значений совокупности используются показатели центра распределения. Основные из них — математическое ожидание, среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее степенное, взвешенные средние, центр сгиба, медиана, мода.

Источник

Среднее арифметическое

Предложена (наряду со средним геометрическим и средним гармоническим) еще пифагорейцами [1] и является одной из наиболее распространенных мер центральной тенденции.

Частными случаями среднего арифметического являются генеральное среднее ( генеральной совокупности) и выборочное среднее ( выборки).

Содержание

Введение

Обозначим множество данных X = (x₁, x₂, …, x_n), тогда выборочное среднее обычно обозначается горизонтальной чертой над переменной (, произносится «x с чертой»).

Для обозначения среднего арифметического всей совокупности используется греческая буква μ. Для случайной величины, для которой определено среднее значение, μ есть вероятностное среднее или математическое ожидание случайной величины. Если множество X является совокупностью случайных чисел с вероятностным средним μ, тогда для любой выборки x_i из этой совокупности μ = E<x_i> есть математическое ожидание этой выборки.

На практике разница между μ и в том, что μ является типичной ненаблюдаемой переменной, потому что видеть можно скорее выборку, а не всю генеральную совокупность. Поэтому, если выборку представлять случайным образом (в терминах теории вероятностей), тогда (но не μ) можно трактовать как случайную переменную, имеющую распределение вероятностей на выборке (вероятностное распределение среднего).

Обе эти величины вычисляются одним и тем же способом:

Если X — случайная переменная, тогда математическое ожидание X можно рассматривать как среднее арифметическое значений в повторяющихся измерениях величины X. Это является проявлением закона больших чисел. Поэтому выборочное среднее используется для оценки неизвестного математического ожидания.

В элементарной алгебре доказано, что среднее n + 1 чисел больше среднего n чисел тогда и только тогда, когда новое число больше чем старое среднее, меньше тогда и только тогда, когда новое число меньше среднего, и не меняется тогда и только тогда, когда новое число равно среднему. Чем больше n, тем меньше различие между новым и старым средними значениями.

Заметим, что имеется несколько других «средних» значений, в том числе среднее степенное, среднее Колмогорова, гармоническое среднее, арифметико-геометрическое среднее и различные средне-взвешенные величины.

Примеры

Непрерывная случайная величина

Для непрерывно распределённой величины среднее арифметическое на отрезке определяется через определённый интеграл:

Некоторые проблемы применения среднего

Отсутствие робастности

Хотя среднее арифметическое часто используется в качестве средних значений или центральных тенденций, это понятие не относится к робастной статистике, что означает, что среднее арифметическое подвержено сильному влиянию «больших отклонений». Примечательно, что для распределений с большим коэффициентом асимметрии среднее арифметическое может не соответствовать понятию «среднего», а значения среднего из робастной статистики (например, медиана) может лучше описывать центральную тенденцию.

Классическим примером является подсчёт среднего дохода. Арифметическое среднее может быть неправильно истолковано в качестве медианы, из-за чего может быть сделан вывод, что людей с большим доходом больше, чем на самом деле. «Средний» доход истолковывается таким образом, что доходы большинства людей находятся вблизи этого числа. Этот «средний» (в смысле среднего арифметического) доход является выше, чем доходы большинства людей, так как высокий доход с большим отклонением от среднего делает сильный перекос среднего арифметического (в отличие от этого, средний доход по медиане «сопротивляется» такому перекосу). Однако, этот «средний» доход ничего не говорит о количестве людей вблизи медианного дохода (и не говорит ничего о количестве людей вблизи модального дохода). Тем не менее, если легкомысленно отнестись к понятиям «среднего» и «большинство народа», то можно сделать неверный вывод о том, что большинство людей имеют доходы выше, чем они есть на самом деле. Например, отчёт о «среднем» чистом доходе в Медине, штат Вашингтон, подсчитанный как среднее арифметическое всех ежегодных чистых доходов жителей, даст на удивление большое число из-за Билла Гейтса. Рассмотрим выборку (1, 2, 2, 2, 3, 9). Среднее арифметическое равно 3.17, но пять значений из шести ниже этого среднего.

Сложный процент

Если числа перемножать, а не складывать, нужно использовать среднее геометрическое, а не среднее арифметическое. Наиболее часто этот казус случается при расчёте окупаемости инвестиций в финансах.

Например, если акции в первый год упали на 10 %, а во второй год выросли на 30 %, тогда некорректно вычислять «среднее» увеличение за эти два года как среднее арифметическое (−10 % + 30 %) / 2 = 10 %; правильное среднее значение в этом случае дают совокупные ежегодные темпы роста, по которым годовой рост получается только 8,2 %.

В общем, сложный процент даёт 90 % * 130 % = 117 % общий рост, а годовой прирост , то есть 8,2 % в год.

Направления

Особую осторожность нужно иметь при расчёте циклических данных, таких как фазы или углы. Наивное вычисление среднего арифметического 1° и 359° даёт результат 180°. Это неверно по двум причинам:

В целом применение такого рассмотрения средней величины ведёт к искусственному сдвигу его к середине числового диапазона. Решение этой проблемы заключается в использовании оптимальной формализации (а именно, определение среднего в качестве центральной точки, то есть точки, от которой наименьшая дисперсия), а также переопределение вычитания как модульного расстояния (то есть как расстояние от окружности; в частности, модульное расстояние между 1° и 359° — это 2°, а не 358°).

Источник

8.3. Средние величины в статистике

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в экономических исследованиях, являются средние показатели (средняя величина).

Средняя величина – представляет обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.

Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Он отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.

Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные.

Сущность средней заключается, в том, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенно­стей, присущих отдельным единицам.

ВИДЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН наиболее часто применяемых на практике:

Выбор средней величины зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять.

ФОРМУЛЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН

Таблица 8.2 – Результаты опроса работников офиса

Источник

Среднее арифметическое: физический смысл и визуализация

Переменная величина – атрибут (свойство) системы, меняющий свое числовое значение. Множество значений переменой величины может иметь вид:

Человек анализирует числовые данные такого рода и принимает решения. Знание температуры воздуха помогает правильно одеться. Курс валюты говорит покупать ее или продавать.

Когда значений одно или несколько, то никаких трудностей не возникает. Но когда значений десятки или сотни, то человеку сложно сразу понять, что означают полученные данные. На помощь приходят интегральные характеристики множеств значений и визуализация.

Одна из интегральных характеристик множества значений переменной величины – среднее арифметическое. Посмотрим на него с точки зрения статистики, физики (механики) и эстетики.

Среднее арифметическое двух чисел

Начнем с минимального набора чисел, для которых можно подсчитать среднее арифметическое. Вот два числа:

Их среднее арифметическое:

Физический смысл среднего арифметического

Изобразим два исходных числа и их среднее арифметическое на числовой оси:

Числа помечены черными кружками, а среднее арифметическое красным треугольником. Полученная конструкция – это весы. Для весов в равновесии правило рычага требует, чтобы моменты сил были равны. Весы не наклоняются ни в одну, ни в другую сторону, так как крутящий момент отсутствует.

В механике момент силы – это произведение силы F на расстояние l:

На плечи весов действует сила, создаваемая весом точек-«грузов». Обозначив расстояния от грузов до точки опоры l₁ и l₂, получим:

Точки-«грузы» отличаются только координатой на оси. Будем считать их вес одинаковым. Тогда:

Обозначив m координату точки опоры весов, получим:

Аналогично из формулы равенства моментов для произвольного количества N точек-«грузов» с одинаковым весом w выводится формула среднего арифметического. Равенство моментов для обоих плеч весов:

Координата опоры весов m:

Формула среднего арифметического дает координату точки опоры весов, находящихся в равновесии.

Визуальное восприятие равновесия

Равновесие в изобразительном искусстве играет важнейшую роль. Если при создании картины не достигнуто равновесие ее элементов, то произведение не будет законченным. В каждой картине художник создает равновесие различных визуальных сил.

Рудольф Арнхейм отмечает, что человеческое зрение способно обнаруживать малейшие отклонения от центра равновесия в изображении:

На приведенном примере слева круг находится в состоянии равновесия, а справа нет. Несмотря на то, что точка равновесия (центр квадрата) никак не отмечена на рисунке, человек с большой точностью может определить, находится ли круг в этой точке или нет.

Несмотря на то, что точка равновесия может быть не изображена, человек воспринимает ее как часть визуальной структуры:

Аналогично и среднее арифметическое: необязательно входит в набор чисел, но значимо для его восприятия и оценки.

Математическое ожидание случайной величины

Для случайной величины аналогом среднего арифметического служит математическое ожидание. Вероятность при этом можно считать весом точки-«груза». Формула равенства моментов с разными весами:

Теперь точка опоры весов в равновесии это μ:

Сумма всех вероятностей равна 1. Следовательно, и сумма весов равна 1. Тогда формула координаты точки весов в равновесии равна:

Это и есть формула математического ожидания.

Гистограмма

Гистограмма – это визуализация (геометрическое изображение) значений переменной величины с учетом вероятностей. Гистограмма показывает для выборки значений, какие из них появляются часто, какие реже, а какие совсем редко.

На гистограмме возможные значения откладываются по горизонтальной оси, а веса – по вертикальной. Диапазон значений по вертикали очевиден – от 0 до 1 (значения вероятности). По горизонтали диапазон должен включать ожидаемые значения переменной.

Гистограмма представляет собой простую картину (экземпляр изобразительного искусства). Зритель ожидает, что точка равновесия множества значений будет ровно посередине гистограммы:

Исходя из этого должен подбираться диапазон значений для горизонтальной оси гистограммы. Тогда сразу будет видно отклонение свойств выборки значений от ожидаемых:

Такого рода отклонение может быть вызвано выбросами. Выбросы – это значения, сильно отличающиеся от остальных. Благодаря правилу рычага, даже небольшое количество выбросов меняет точку равновесия и среднее арифметическое:

Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю. Архимед

Источник

Среднее арифметическое для чего используется

“Мы живем, влюбляясь и мечтая,

Падая и поднимаясь ввысь.А статистика упрямая стараетсяВ цифрах выразить всю нашу жизнь”.

Выяснить в каких сферах общественности применяется среднее арифметическое значение.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

Рассказать о взаимосвязи статистики и сфер жизни

Показать, как среднее арифметическое применяется при решении задач связанных с различными областями человеческой деятельности.

Предмет исследования – применение среднего арифметического в различных областях человеческой деятельности.

Статические методы применяются во многих областях жизни при анализе различных ситуаций. Статистика не только определяет равномерность явлений, а также позволяет их тщательно изучать в частности.

В настоящее время статистика имеет следующее определение. Статистика – это планомерный и систематический учет массовых общественных явлений, который осуществляется государственными статистическими органами и дает числовое выражение проявляющимся закономерностям. Статистик существует очень много, например: статистика промышленности, статистика торговли, экономическая статистика, математическая, прикладная и т.д.

Основными задачами статистического исследования являются выявление и анализ закономерностей объектов которые выбраны для исследования, с целью установления возможности и достоверности перенесения сделанных выводов на генеральную совокупность.

Наше исследование является актуальным, так как многие люди в своей профессии часто используют методы статистики, в частности – вычисление среднего арифметического значения, не задумываясь об этом, и мы в своей работе решили акцентировать ваше внимание, чтобы показать, насколько этот метод важен в различных областях жизнедеятельности человека

Каждый из нас может применяет методы статистики в своей деятельности. Чтобы серьезно подойти к решению проблемы необходимо проанализировать ситуацию и сделать соответствующие выводы Статистические методы применяются в правоохранительных органах, здравоохранении, образовании, производстве и продаже товаров, в сфере услуг и т.д. Все статистические методы связаны с подсчетом тех или иных данных.А это означает, что статистика является одним из важнейших разделов математики, а математика как мы знаем наука о структурах, порядке и отношениях, которая сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания свойств и форм объектов. Математика не относится к естественным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов. Математика — наука, которая предоставляет данные другим наукам.

Статистика- это наука, изучающая количественную сторону мас​совых общественных явлений и процессов в неразрывной связи с их качественными особенностями в конкретных условиях места и времени. Это универсальная наука, охватывающая все отрасли человеческой деятельности. Для изучения тех или иных явлений в статистике применяют различные методы. Одним из важнейших методов является метод нахождения среднего арифметического. Не менее важную роль в исследование данных вносят медиана, размах, и мода.

Среднее арифметическое (средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество) является важной характеристикой ряда чисел

Статистические данные применяются постоянно во всех сферах жизни, так же как и статистические методы, которые обеспечивают сбор необходимых данных. Основу статистики должны знать все люди, так как эта наука обучает, как собирать и систематизировать их, а также анализировать и делать выводы. В жизни подобные знаний могут пригодиться и не раз, причем на любой работе. У каждого человека есть свой метод анализа окружающего мира, а статистика помогает формировать наблюдательность, которая нужна при сборе информации. Статистика позволяет регистрировать социальные, демографические, экономические и т.д. феномены.

В своей работе я хочу показать где и как применяется среднеарифметическое в различных областях жизни. Для этого я обращалась к медицинским учебникам, интернет-данным, проанализировала результаты гиа за некоторые годы учащихся нашей школы и дневник наблюдений за погодой, который вела сама в 6 классе. Остановимся более подробно на исследовании

Теоретическая часть.

Применение среднеарифметического в медицине.

Медицинская статистика является методом социальной диагности​ки, поскольку она позволяет дать оценку состояния здоровья насе​ления страны, региона и на этой основе разработать меры, направ​ленные на улучшение общественного здоровья. Важнейшим принципом статистики является применение ее для изу​чения неотдельных, единичных, а массовых явлений, с целью выявления их общих закономерностей. Эти закономерности проявляются, как правило, в массе наблюдений, то есть при изучении статистической совокупности.

1) позволяет количественно измерить показатели здоровья населения и показатели деятельности медицинских учреждений

2) определяет силу влияния различных факторов на здоровье населения

3) определяет эффективность лечения и оздоровительных мероприятий

4) позволяет оценить динамику показателей здоровья и позволяет прогнозировать их

5) позволяет получить необходимые данные для разработки норм и нормативов здравоохранения.

Средние арифметическое используются в медицине и здравоохранении:

а) для оценки состояния здоровья — например, параметров физического развития (средний рост, средний вес, средний объем жизненной емкости легких и др.), соматических показателей (средний уровень сахара в крови, средний пульс, средняя СОЭ и др.);

б) для оценки организации работы лечебно-профилактических и санитарно-противоэпидемических учреждений, а также деятельности отдельных врачей и других медицинских работников (средняя длительность пребывания больного на койке, среднее число посещений за 1 ч. приема в поликлинике и др.);

в) для оценки состояния окружающей среды.

В то же время, у больных людей значения многих физиологических параметров имеют асимметричное распределение, ввиду того, что изменяются в сторону увеличения или уменьшения под влиянием заболевания. Поэтому для характеристики центральной тенденции их распределения помимо среднего арифметического используется медиана, мода и размах ряда величин.

Применение среднеарифметического в органах правоохранения

Статистика в органах правоохранения охватывает широкий круг проблем, связанных с негативными явлениями в обществе. Изучает различного рода преступления и правонарушения, такие как: бандитизм, ограбление, изнасилование, проституция, наркомания, алкоголизм, коррупция и другие отрицательные общественные явления, а так же нарушения морально-этических норм. Статистика изучает не только негативные явления, но и позитивные, которые характеризуют моральный облик людей. Статистический анализ начинается с изучения показателей, взятых из отчетов. Прежде всего определяется уровень преступности, т. е. выясняется, сколько в абсолютных цифрах зарегистрировано преступлений— всего, а также по родам и видам. Аналогичную характеристику в абсолютных цифрах получают о лицах, совершивших эти преступления (их общее число, по видам совершенных преступлений, по признакам пола, возраста, социального положения и т. д.), об объеме и структуре деятельности правоохранительных органов и других субъектов борьбы с преступностью. В криминологических исследованиях средние показатели применяют, например, для определения среднего возраста преступников, средних сроков наказания, назначенных за какой-либо вид преступления. Также, представляет интерес степень распространенности преступности среди различных возрастных групп, среди специальных субъектов преступлений (работников торговли, автотранспорта), среди групп населения, выделенных породу занятий, отрасли народного хозяйства, типу населенного пункта, времени проживания в данной местности, и т. д. Криминологическая статистика дает возможность наиболее оптимально спланировать распределение сил и средств борьбе с преступными проявлениями. Исходя из статистических показателей с уровнем преступности, возможностей оперативных и следственных работников и других данных, планируется средняя штатная численность правоохранительных органов и их допустимая средняя индивидуальная нагрузка.

Применение среднеарифметического в образовании

Применение среднеарифметического в оценке условий жизни населения страны.

Уровень жизни населения — представляет собой экономическую категорию. Это уровень обеспеченности населения необходимыми материальными благами и услугами. Уровень жизни — это уровень благосостояния населения, потребления благ и услуг, совокупность условий и показателей, характеризующих меру удовлетворения основных жизненных потребностей людей.

В настоящее время, когда экономические системы стран подвергаются деформации и видоизменяются главной целью остаётся осуществление принципа социальной направленности рыночной экономики с помощью улучшения уровня жизни населения.

Основными задачами статистики уровня жизни населения являются: изучение фактического благосостояния населения, а также факторов, определяющих условия жизнедеятельности граждан страны в соответствии с экономическим ростом; измерение степени удовлетворения потребностей в материальных благах и услугах во взаимосвязи с социальными условиями и развитием производства.

Базой для построения системы показателей и решения указанных задач являются материалы макроэкономической статистики, демографической статистики, статистики труда, торговой статистики, статистики цен. Значительный объем собираемых сведений основывается на данных финансовой и бухгалтерской отчетности, государственной налоговой службы, Центрального банка РФ, Пенсионного фонда РФ и др., а также на материалах специальных обследований, переписей, опросов.

Здесь средние величины обобщают качественно разнородные значения признаков или системных пространственных совокупностей (международное сообщество, континент, государство, регион, район и т.д.) или динамических совокупностей, протяженных во времени (век, десятилетие, год, сезон и т.д.). средний национальный доход на душу населения, средняя урожайность зерновых по всех стране, средний реальный доход на душу населения, среднее потребление продуктов питания на душу населения, производительность общественного труда).

Очень заметна польза статистики в экономике. Учитывая то, что все в нашем мире продается и покупается, каждый норовит создать свой бизнес, то без анализа рынка никак

В настоящее время экономика нашей страны зависит от соотношения доллара и рубля. Резкое падение российского рубля произошло в декабре 2014 года.

Такие колебания курса рубля не новое явление и весьма характерное для финансовой истории России. 15 и 16 декабря 2014 года рубль упал на 22 процента

по отношению к ведущим мировым валютам, что побудило правительство и ЦБ РФ принять экстренные меры для спасения российской национальной валюты.

Впечатляющее падение рубля на 22 процента 15 декабря и 16 декабря также побудило инвесторов воспринять ситуацию как повторение кризиса 1998 года, когда рубль потерял 27 процентов 17 августа. Рубль в 2014 году упал более чем на 40 процентов по отношению к доллару и достиг новых исторических минимумов. К началу 2015 года, рубль находился на отметке 56,24 по отношению к доллару по сравнению с 32,9 в начале 2014 года.

Применение среднеарифметического в климатологии.

Показателями отдельных метеорологических элементов являются: средние значения, крайние значения, амплитуды, повторяемость различных значений элементов, накопленная повторяемость (обеспеченность), показатели изменчивости, показатели асимметрии и крутости кривой распределения.

Средние значения. Обычно определяют средние значения температуры и влажности воздуха, скорости ветра, атмосферного давления, осадков и т. д.

Чаще других определяют средние суточные, месячные и годовые значения метеорологических элементов.

Средняя месячная температура – деление сумы средних суточных температур на число суток месяца.

Практическая часть.

Применение среднеарифметического в медицине.

1.В травматологический пункт поликлиники №4 г.Волгограда в течение месяца ежедневно обращалось следующее число больных:

Источник