к свойствам стационарного временного ряда относится то что
Стационарные временные ряды
Вы будете перенаправлены на Автор24
Факторы, влияющие на построение временного ряда
Построение эконометрической модели связано с двумя типами данных:
Модели, строящиеся по данным первого типа, носят название пространственные модели. А модели, построенные на основании данных второго типа – это модели временных рядов.
Под временным рядом понимается совокупность значений конкретного показателя за несколько последовательно происходящих моментов или временных периодов.
Формирование каждого уровня временного ряда основано на воздействии большого количества факторов, условно разделяемых на следующие группы:
Многие временные ряды экономических показателей имеют тенденцию, которая характеризует совокупное долгосрочное воздействие факторов на изменение исследуемого показателя. Все факторы по отдельности могут с равной силой воздействовать на изучаемый показатель. При этом в совокупности они образуют возрастающую или же убывающую тенденцию показателя. На рисунке 1 представлен пример временного ряда, который содержит возрастающую тенденцию.
Готовые работы на аналогичную тему
Показатели также могут быть подвержены циклическим колебаниям. Такие колебания бывают сезонными, связанными с общим изменение рыночной конъюнктуры и т.д. На рисунке 2 представлен пример временного ряда, содержащего сезонную компоненту.
Стационарные временные ряды
Отдельные временные ряды не имеют тенденции или циклической компоненты, каждый их следующий уровень равен сумме среднего уровня ряда и случайной компоненты (положительной или отрицательной). Такие ряды носят название стационарные. Если же ряды в своем составе содержат две или три компоненты, то называются нестационарными.
Важные характеристики стационарного ряда – это дисперсия и математическое ожидание.
Математическое ожидание процесса X(t) – это неслучайная функция M(t), которая равна в момент времени t математическому ожиданию. Под дисперсией стационарного ряда понимается неслучайная функция D(t), которая равна дисперсии в момент времени t.
Простейший пример стационарного временного ряда – это «белый шум», т.е. случайный процесс, в котором в разные моменты времени значения независимы и распределены одинаково (Рисунок 3).
Ряд y(t) строго стационарен при условии, что совместное распределение m наблюдений y(t1),y(t2),…,y(tm+1) не зависит от изменения времени, другими словами, совпадает с распределением.
Ряд y(t) является слабо стационарным при условии, что математическое ожидание, дисперсия и ковариация не зависимы от временного момента.
Если же одно из представленных выше условий нарушается, то ряд будет нестационарным.
При строгой стационарности подразумевается слабая стационарность.
Стационарность может быть нарушена как по математическому ожиданию, так и по дисперсии.
Временной ряд y(t) будет стационарным по отношению к детерминированному ряду f(t), в случае, если ряд (yt-f(t)) стационарен. Когда ряд y(t) стационарен по отношению к некоторому детерминированному тренду, то данный ряд относится к классу рядов, стационарных по отношению к детерминированному тренду, т.е. является TS рядом.
Если построение эконометрической модели осуществляется по временным рядам, которые принадлежат различным типам стационарности, то может получиться неадекватная модель и для нее не будут выполняться предпосылки МНК. Это станет причиной невыполнения условий несмещенности, эффективности и состоятельности полученных оценок.
Стационарность в анализе временных рядов
Дата публикации Apr 8, 2019
Этот пост предназначен для предоставления краткого, но всеобъемлющего обзора концепции стационарности и различных типов стационарности, определенных в научной литературе, посвященной анализу временных рядов.
Будущие посты будут направлены на предоставление аналогичных кратких обзоровобнаружение нестационарности в данных временных рядови о различных способах преобразования нестационарных временных рядов в стационарные.¹
Почему важна стационарность?
Прежде чем углубляться в формальные определения стационарности и связанные с ними концепции, на которых она строится, стоит подумать, почему концепция стационарности стала важной в анализе временных рядов и его различных применениях.
Хотя это звучит немногоэффект уличного освещенияЕсли более простые теории или модели должны стать более заметными, это на самом деле довольно распространенный паттерн в науке, и на то есть веские причины. Во многих случаях простые модели могут быть удивительно полезны, либо как строительные блоки для построения более сложных, либо как полезные приближения к сложным явлениям. Оказывается, это относится и к стационарным процессам.
Благодаря этим свойствам стационарность стала распространенным допущением для многих методов и инструментов анализа временных рядов. К ним относятся, среди прочего, оценка трендов, прогнозирование и причинно-следственные связи.
Таким образом, конечной причиной важности стационарности является ее повсеместность в анализе временных рядов, позволяющая понять, обнаружить и смоделировать ее, необходимую для применения многих известных инструментов и процедур в анализе временных рядов. Действительно, во многих случаях, связанных с временными рядами, вы обнаружите, что должны быть в состоянии определить, были ли данные сгенерированы стационарным процессом, и, возможно, преобразовать их, чтобы они имели свойства выборки, сгенерированной таким процессом.
Надеюсь, я уже убедил вас, что понимание стационарности важно, если вы хотите работать с данными временных рядов, и мы можем перейти к более формальному представлению этой темы.
Формальное определение для случайных процессов
Прежде чем вводить более формальные понятия стационарности, требуется несколько предварительных определений. Этот раздел предназначен для краткого обзора основных концепций анализа временных рядов и теории стохастических процессов, необходимых для дальнейшего чтения. Не стесняйтесьпропустить впередесли вы знакомы с ними.
Временная последовательность:Обычно временной ряд(Икс₁… Хх)Предполагается, что это последовательность реальных значений, взятых в последовательных равных интервалах⁶точки во времени, от временит = 1ко временит = е,
запаздывание: Для определенного момента временирНаблюдениеИксᵣ₋ᵢ (япериоды назад) называетсяя-мзапаздываниеизИксᵣ. Временной рядYгенерируется обратным сдвигом другого временного рядаИкспоявременные шаги также иногда называютя-мзапаздываниеизИКС,илия-лагизИкс, Это преобразование называется какоператор задней передачи,обычно обозначается какВ(∙), аоператор задержкиобычно обозначается какL(∙); Таким образом,L(Иксᵣ)= Xᵣ₋₁,Полномочия операторов определены какLⁱ (Иксᵣ)= Xᵣ₋ᵢ.
Стохастические процессы
Общий подход к анализу данных временных рядов состоит в том, чтобы рассматривать наблюдаемые временные ряды как частьреализацияизслучайный процесс, Два поверхностных определения требуются перед определением случайных процессов.
Пространство вероятностей:пространство вероятностейэто тройка(Ω, F, P), где
(я)Ωнепустое множество, называетсяпробное пространство,
(II)Fэтоσ-алгебраподмножеств Ω, т. е. семейство подмножеств, замкнутое относительно счетного объединения и дополняющее по Ω
(III)пэтомера вероятностиопределены для всех членовF,
Случайная переменная:реальныйслучайная переменнаяиливещественная стохастическая переменнаяна(Ω, F, P)это функциях: Ω →ℝ такой, что обратное изображение любого интервала(-∞, а]принадлежитF; то естьизмеримая функция,
Теперь мы можем определить, что такое случайный процесс.
Стохастический процесс:реальный случайный процесссемейство вещественных случайных величин 𝑿 =<Иксᵢ(Ω); я∈Т>все определены в одном и том же вероятностном пространстве(Ω, F, P), НаборTназываетсянабор индексовпроцесса. ЕслиT⊂ℤ, то процесс называетсядискретный случайный процесс, ЕслиTинтервал ℝ, то процесс называетсянепрерывный случайный процесс,
Что для случайного процесса also также обычно обозначается как:
конечномерное распределениеслучайного процесса затем определяется как множество всех таких совместных функций распределения для всех таких конечных целочисленных множествTлюбого размераN, Таким образом, для дискретного процесса это набор:
Интуитивно, это представляет проекцию процесса на конечномерное векторное пространство (в данном случае, конечный набор временных точек).
Определения стационарности
Имея базовое определение стохастических процессов, на которых можно основываться, мы можем теперь ввести концепцию стационарности.
Наглядно,стационарностьозначает, что статистические свойства процесса не меняются со временем. Тем не менее, несколько разных понятий стационарности были предложены в эконометрической литературе за эти годы.
Сильная стационарность
Сильная стационарность требует сдвига-инвариантности (во времени) конечномерных распределений случайного процесса. Это означает, что распределение конечной подпоследовательности случайных величин случайного процесса остается таким же, как мы смещаем его вдоль оси временного индекса. Например, всеi.i.d.случайные процессы являются стационарными.³
Формально дискретный случайный процесс 𝑿 =<Иксᵢ; i∈ℤ>являетсястационарныйесли
дляT⊂ℤсN∈ и любой τ∈ℤ, [Cox & Miller, 1965] Для непрерывных случайных процессов условие аналогично, сT⊂ℝ,N∈ℕ и любой τ∈ℝ вместо,
Это наиболее распространенное определение стационарности, и его обычно называют простостационарность.Иногда его также называютстационарность в строгом смыслеилисильная стационарность,
Заметка:Это определение не предполагаетСуществование / конечностьлюбого момента случайных величин, составляющих случайный процесс!
Слабая стационарность
Слабая стационарностьтребуется только смещение-инвариантность (во времени) первого момента и перекрестного момента (автоковариантность). Это означает, что процесс имеет одинаковое среднее значение во всех временных точках, и что ковариация между значениями в любых двух временных точках,Tа такжет-кзависит только отКРазница между двумя временами, а не на месте точек вдоль оси времени.
Формально процесс<Иксᵢ; i∈ℤ>являетсяслабо стационарныйесли:
1. Первый моментИксConstant постоянная; то есть,T, E [xᵢ] = Μ
2. Второй моментИксᵢ конечно для всех t; то есть,T, E [xᵢ²]
Обратите внимание, что это непосредственно подразумевает, что дисперсия процесса также постоянна, так как мы получаем это для всех t∈ℕ
Это рисует специфическую картину слабо стационарных процессов как тех, которые имеют постоянное среднее значение и дисперсию. Их свойства хорошо контрастируют с их аналогами на рисунке 2 ниже.
Другие общие названия для слабой стационарностистационарность в широком смысле,стационарность слабого смысла,ковариационная стационарностьа такжестационарность второго порядка² Достаточно запутанно, это также иногда называют простостационарностьв зависимости от контекста (см. [Boshnakov, 2011] для примера); например, в геостатистической литературе это доминирующее понятие стационарности. [Майерс, 1989]
Заметка:Сильная стационарность не подразумевает слабую стационарность, а последняя не подразумевает первое (см. ПримерВот)! Исключением являются гауссовские процессы, для которых слабая стационарность подразумевает сильную стационарность.
Причина, по которой сильная стационарность не подразумевает слабую стационарность, состоит в том, что она не означает, что процесс обязательно имеет конечный второй момент; например процесс IID со стандартным распределением Коши строго стационарен, но не имеет конечного второго момента⁴(см. [Майерс, 1989]). Действительно, наличие конечного второго момента является необходимым и достаточным условием слабой стационарности сильно стационарного процесса.
Формально процесс<Иксᵢ; i∈ℤ>является процесс белого шумаесли:
1. Первый моментИксAlways всегда ноль; то есть,T, E [xᵢ] = 0
2. Второй моментИксᵢ конечно для всех t; то есть∀t, E [(xᵢ-μ) ²]
Естественно, стационарность по отношению к определенному порядку N не подразумевает стационарность какого-либо более высокого порядка (но обратное верно).интересная тема вmathoverflowдемонстрирует как пример стационарного процесса 1-го порядка, который не является стационарным 2-го порядка, так и пример для стационарного процесса 2-го порядка, который не является стационарным 3-го порядка.
Обратите внимание, что стационарностьN-заказ дляN = 2неожиданно не эквивалентен слабой стационарности, хотя последний иногда называют стационарностью второго порядка. [Myers, 1989] Как и в случае сильной стационарности, условие, которое устанавливает стационарность 2-го порядка для распределения любых двух выборок из 𝑿, не означает, что 𝑿 имеет конечные моменты. И точно так же наличие конечного второго момента является достаточным и необходимым условием, чтобы стационарный процесс 2-го порядка также был слабо стационарным процессом.
Стационарность первого порядка
Термин стационарность первого порядка иногда используется для описания ряда, который имеет значение, которое никогда не меняется со временем, но для которого может измениться любой другой момент (например, дисперсия) [Boshnakov, 2011]
Опять же, обратите внимание, что это определение не эквивалентноNстационарность 2-го порядка для N = 1, поскольку последняя влечетИксAll все одинаково распределены для процесса 𝑿 =<Иксᵢ; я∈ℤ>, Например, процесс, в которомИксᵢ
𝓝 (μ,е (я)) гдеF (I) = 1для четных значенийяа такжеF (I) = 2для нечетных значений имеет постоянное среднее значение во времени, ноИксIdent не тождественно распределены. В результате такой процесс относится к этому конкретному определению стационарности первого порядка, но не кNстационарность 2-го порядка дляN = 1,
Cyclostationarity
Циклостационарность играет важную роль в обработке сигналов.
Тенденция стационарности
При наличии шока (существенное и быстрое однократное изменение значения ряда) стационарно-трендовые процессы возвращаются к среднему значению; то есть со временем ряды снова сойдутся к растущему (или уменьшающемуся) среднему значению, которое не зависит от шока.
Совместная стационарность
Существуют интуитивные расширения всех вышеперечисленных типов стационарности для пар случайных процессов. Например, для пары случайных процессов 𝑿 и 𝒀 совместная сильная стационарность определяется тем же условием сильной стационарности, но просто накладывается на совместную кумулятивную функцию распределения двух процессов. Слабая стационарность иNстационарность второго порядка может быть расширена таким же образом (последнийM—N2-й порядок совместной стационарности).
Внутренняя гипотеза
Более слабая форма слабой стационарности, заметная вгеостатистическийлитература (см., например, [Myers 1989] и [Fischer et al. 1996]).внутренняя гипотезавыполняется для случайного процесса 𝑿 =
Это понятие подразумевает слабую стационарность разности Xᵢ-Xᵢ₊ᵣ и было расширено определениемВнутренняя гипотеза N-го порядка,
Локально стационарные случайные процессы
Важным классом нестационарных процессов являются локально стационарные (ЛС) процессы. Одно интуитивное определение для процессов LS, приведенное в[Cardinali & Nason, 2010]является то, что их статистические свойства изменяются медленно с течением времени. С другой стороны,[Дальхаус, 2012]определяет их (неформально) как процессы, которые локально в каждый момент времени близки к стационарному процессу, но чьи характеристики (ковариации, параметры и т. д.) постепенно меняются неопределенным образом с течением времени. Формальное определение можно найти в [Vogt, 2012], и[Дальхаус, 2012]обеспечивает строгий обзор предмета.
Процессы LS важны, потому что они несколько перекрывают разрыв между тщательно изученным подклассом параметрических нестационарных процессов (см. Следующий раздел) и неизведанными водами более широкого семейства непараметрических процессов, поскольку они получили строгие обработка и соответствующий набор инструментов анализа сродни тем, которыми пользуются параметрические процессы. Отличным интернет-ресурсом по этой теме являетсядомашняя страница профессора Гая Насона, который называет процессы LS своим основным научным интересом.
Типология понятий стационарности
Следующий типологический рисунок, каким бы частичным он ни был, может помочь понять отношения между различными понятиями стационарности, которые мы только что рассмотрели:
Параметрические понятия нестационарности
Представленные ранее определения стационарности были непараметрическими; то есть они не предполагали модель для процесса генерирования данных и, следовательно, применимы к любому стохастическому процессу. Однако связанная с этим концепция разностной стационарности и процессов с единичным корнем требует краткого введения в моделирование стохастических процессов.
Тема стохастического моделирования также актуальна, поскольку различные простые модели могут быть использованы для создания случайных процессов (см. Рисунок 5).
Основные понятия в моделировании случайных процессов
Прогнозирование будущих значений является обычной задачей при изучении данных временных рядов. Чтобы делать прогнозы, необходимо сделать некоторые предположения относительно процесса генерации данных (DGP), механизма, генерирующего данные. Эти предположения часто принимают форму явной модели процесса, а также часто используются при моделировании случайных процессов для других задач, таких как обнаружение аномалий или причинный вывод. Мы рассмотрим три наиболее распространенных таких модели.
Авторегрессионная (AR) модель:Предполагается, что временные ряды, моделируемые с использованием модели AR, генерируются как линейная функция от прошлых значений плюс случайный шум / ошибка:
Это модель на основе памяти, в том смысле, что каждое значение коррелирует сппредшествующие значения; модель AR с лагомпобозначаетсяАР (р), Коэффициенты 𝜙ᵢявляются весами, измеряющими влияние этих предыдущих значений на значение х[т], спостоянный перехват и εᵢявляется одномернымпроцесс белого шума(обычно считается гауссовским).
вектор авторегрессии (VAR)модель обобщает одномерный случай модели AR на многомерный случай; теперь каждый элемент векторах [т]длины k можно моделировать как линейную функцию всех элементов прошлогопвекторов:
гдесэто векторКконстанты (перехваты),Aᵢне зависят от временик × кматрицы иезнак равно<еᵢ; i∈ℤ>этобелый шум многомерный процессизКпеременные
Модель скользящего среднего (MA):Временной ряд, смоделированный с использованием модели скользящего среднего, обозначенный какМ. А. (д), предполагается, что генерируется как линейная функция последнегод + 1случайные удары, порожденные εᵢ,одномерныйпроцесс белого шума:
Как и в случае авторегрессионных моделей, существует векторное обобщение VMA.
Модель авторегрессионной скользящей средней (ARMA):Временной ряд моделируется с использованиемАРМА (р, д)Предполагается, что модель генерируется как линейная функция последнегопзначения и последниед + 1случайные удары, порожденные εᵢ,одномерныйпроцесс белого шума:
Модель ARMA может быть обобщена различными способами, например, для работы с нелинейностью или с внешними переменными, для многомерного случая (VARMA) или для обработки (определенного типа) нестационарных данных (ARIMA).
Разница стационарных процессов
Имея базовое понимание общих моделей случайных процессов, мы можем теперь обсудить связанную концепцию разностных стационарных процессов и единичных корней. Эта концепция опирается на предположение, что рассматриваемый случайный процесс может быть записан какавторегрессионныйпроцесс заказап,обозначается какАР (р):
Где εᵢобычно некоррелированные процессы белого шума (на все временаT). Мы можем написать тот же процесс, что и:
Часть в скобках слева называетсяхарактеристическое уравнениепроцесса. Мы можем рассмотреть корни этого уравнения:
Если m = 1 является корнем уравнения, то случайный процесс называетсяразница стационарнаяпроцесс илиинтегрированный, Это означает, что процесс может быть преобразован в слабо-стационарный процесс путем применения к нему определенного типа преобразования, называемогоразностными,
Разница стационарных процессов имеетпорядок интеграции, который является числом раз, когда оператор разности должен быть применен к нему для достижения слабой стационарности. Процесс, который должен отличатьсярраз говорят, что интегрированы порядкар,обозначеноЯ (г), Это в точности совпадает скратность корням = 1; смысл, еслим = 1это корень множественностирхарактеристического уравнения, то процесс интегрируется в порядкер,
Единичные корневые процессы
Распространенным подтипом разностного стационарного процесса являются процессы, интегрированные в порядок 1, также называемыеединичный корневой процесс.Простейшим примером такого процесса является следующая модель авторегрессии:
Процессы единичного корня и вообще разностные стационарные процессы интересны тем, что представляют собой нестационарные процессы, которые можно легко преобразовать в слабо стационарные процессы. В результате, хотя этот термин не используется взаимозаменяемо с нестационарностью, иногда возникают вопросы относительно них.
Полупараметрические единичные корневые процессы
Другое интересное определение представляет собой более широкий и менее параметрический подкласс нестационарных процессов, который можно назвать полупараметрическими процессами корневых элементов. Определение было введено в [Davidson, 2002], но краткий обзор его можно найти [Breitung, 2002].
Если вы заинтересованы в концепции стационарности или наткнулись на тему при работе с данными временных рядов, то я надеюсь, что вы нашли этот пост хорошим введением в тему. Некоторые ссылки и полезные ссылки находятся ниже.
Как я уже говорил,последний пост в этой серии содержит аналогичный обзор методов обнаружения нестационарностии другой будет обеспечивать то же самое для преобразования данных нестационарных временных рядов.
Кроме того, пожалуйста, не стесняйтесьсвяжитесь со мнойс любыми комментариями и мыслями на пост или тему.