известно что около четырехугольника abcd можно описать окружность

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Известно что около четырехугольника abcd можно описать окружность

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке K. Прямая касается первой окружности в точке А, а второй окружности в точке В. Луч BK пересекает первую окружность в точке D, луч AK пересекает вторую окружность в точке С.

а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — трапеция.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BCD, если радиус первой окружности равен 1, а радиус второй окружности равен 4.

а) Пусть прямая КМ — общая касательная двух окружностей, причём точка M лежит на отрезке AB. Тогда по свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки к окружности, Следовательно, точка К лежит на окружности диаметром AB, а значит,

Углы AKD и BKC прямые, поэтому AD и BC — диаметры первой и второй окружностей соответственно. Значит, неравные отрезки AD и BC перпендикулярны касательной АB, следовательно, они параллельны. Таким образом, четырёхугольник ABCD — трапеция.

б) Пусть точки О и Q — центры первой и второй окружностей соответственно, а точки E и H — проекции точек О и D соответственно на прямую BC. Тогда в прямоугольном треугольнике OEQ:

В прямоугольном треугольнике :

В прямоугольном треугольнике BDH:

По теореме синусов радиус окружности, описанной около треугольника BDC, равен

Ответ: б)

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причем сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность — в точке F, причем H — середина AE.

а) Докажите, что четырёхугольник BCFE — параллелограмм.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что AB = 3 и

a) Так как AH перпендикулярно BD и H — середина AE, то Заметим, что опирается на диаметр, поэтому он равен 90°. Более того, следовательно, CB параллельно FA. Тогда четырехугольник FCBA — вписанная в окружность трапеция, что означает, что она равнобедренная. Поэтому Следовательно, и CF параллельно BE, ведь соответсвенные углы и равны. Таким образом, четырехугольник BCFE — параллелограмм.

б) Треугольник ADE — равнобедренный, так как AH перпендикулярно BD и H — середина AE. Тогда Заметим, что как вертикальные и как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Тогда треугольник CFE — равнобедренный, Найдем катет BH по теореме Пифагора, он равен Найдем DH по теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд:

(площадь дельтоида)

Ответ:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Диаметр CC₁ перпендикулярен стороне AD и пересекает её в точке M, а диаметр DD₁ перпендикулярен стороне AB и пересекает её в точке N.

а) Пусть AA₁ также диаметр окружности. Докажите, что

б) Найдите углы четырехугольника ABCD, если CDB вдвое меньше угла ADB.

а) Точка B лежит на окружности с диаметром AA₁, поэтому прямая A₁B перпендикулярна прямой AB, а так как прямая DD₁ перпендикулярна прямой AB, прямая A₁B параллельна прямой DD₁, поэтому как накрест лежащие.

Вписанные углы A₁D₁D и A₁AD опираются на одну и ту же дугу, значит,

Пусть O — центр окружности. Из точек M и N отрезок OA виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OA. Вписанные в эту окружность углы MAO и MNO опираются на одну и ту же дугу, поэтому Следовательно,

б) Поскольку диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам, треугольники ACD и ABD равнобедренные (их высота являются медианами). Положим Тогда

С другой стороны, из равенства находим, что Следовательно,

Ответ: б) 72°, 126°, 108°, 54°.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Диаметр CC₁ перпендикулярен стороне AD и пересекает её в точке M, а диаметр DD₁ перпендикулярен стороне AB и пересекает её в точке N.

а) Пусть AA₁ также диаметр окружности. Докажите, что

б) Найдите углы четырехугольника ABCD, если

а) Вписанные углы и опираются на одну и ту же дугу, значит,

Пусть O — центр окружности. Из точек M и N отрезок OA виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OA. Вписанные в эту окружность углы MAO и MNO опираются на одну и ту же дугу, следовательно,

б) Поскольку диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам, треугольники ACD и ABD равнобедренные (их высота являются медианами). Положим Тогда

С другой стороны, из равенства находим, что Следовательно,

Ответ: б) 70°, 125°, 110°, 55°.

Аналоги к заданию № 520661: 520702 Все

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекается в точке P, причём BC = CD.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника COD, где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = 6, а

а) Вписанные углы BAC и DAC опираются на равные хорды, поэтому они равны (рис. 1). Вписанные углы ADB и ACB опираются на одну и ту же дугу, поэтому Значит, треугольники ADP и ACB подобны по двум углам. Следовательно,

б) Точки A и C лежат на окружности с диаметром BD, значит, треугольники ABD и BCD прямоугольные (рис. 2). Кроме того, по условию треугольник BCD равнобедренный, поэтому Катет AB прямоугольного треугольника ABD равен половине гипотенузы BD, поэтому

Центр окружности, вписанной в треугольник, — точка пересечения его биссектрис, поэтому точка O лежит на биссектрисе AC угла BAD и на биссектрисе угла ADB. Тогда

Следовательно, треугольник COD равносторонний, причём Следовательно, площадь треугольника COD равна

Ответ: б)

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.

Найдём косинусы углов ABC и ADC в треугольниках и соответственно:

Далее,

Тем самым сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, поэтому вокруг него можно описать окружность. Для вписанного четырёхугольника справедлива теорема Птолемея: произведение диагоналей четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. Тогда то есть откуда

Ответ: б)

Приведем решение пункта б) Тофига Алиева без использования теоремы Птолемея.

Заметим, что поскольку Пусть тогда в треугольнике BAD по теореме косинусов

В треугольнике BCD по теореме косинусов

Приведем идею решения Юрия Зорина.

Углы BAC и BDC равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу BC. По теореме косинусов найдём косинус угла BAC (он равен 11/14). Далее, зная, что косинусы равных углов равны, из треугольника BDC найдем по теореме косинусов искомый отрезок BD.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке О. Радиус АО перпендикулярен радиусу ОВ, а радиус ОС перпендикулярен радиусу OD.

а) Докажите, что ВС || AD.

б) Найдите площадь треугольника АОВ, если длина перпендикуляра, опущенного из точки С на AD, равна 9, а длина отрезка ВС в два раза меньше длины отрезка AD.

а) Поскольку треугольник BOC равнобедренный, а треугольники AOB и COD равны по первому признаку, то углы ABC и BCD равны. Аналогично равны углы BAD и ADC, и прямые параллельны.

б) Найдем радиус окружности. Пусть он равен R, BC = 2x, AD = 4x. Проведем в равнобедренной трапеции ABCD высоту CH = 9. Она разбивает основание AD на отрезки AH = 3x, DH = x. Заметим, что вписанный Значит, треугольник CHA — равнобедренный прямугольный, 3x = 9, x = 3. По теореме Пифагора получаем Тогда радиус окружности а

Ответ: б)

В квадрате ABCD, со стороной равной а, точки P и Q — середины сторон AD и CD соответственно. Отрезки BP и AQ пересекаются в точке R.

а) Доказать, что около четырехугольников BCQR и DPRQ можно описать окружности.

б) Найти расстояние между центрами этих окружностей.

поэтому суммы углов и равны Поэтому четырехугольники вписанные. В середине цепочки использовано равенство прямоугольных треугольников и (равны по двум катетам и прямому углу).

б) В этих окружностях и являются диаметрами (на них опираются прямые углы), поэтому центры — середины этих отрезков, а расстояние между ними — длина средней линии треугольника Она равна:

Ответ:

В окружность вписан четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M.

а) Докажите, что EM — медиана треугольника CED.

б) Найдите EM, если AD = 8, AB = 4 и угол CDB = 60°.

а) Пусть H — точка пересечения прямой EM и отрезка AB. Заметим, что (опираются на дугу BC), (как вертикальные), отсюда то есть треугольник DEM равнобедренный. Далее поэтому треугольник EMC тоже равнобедренный. Итак, значит, EM — медиана CDE.

б) Поскольку DEM — равнобедренный (см. п.а) треугольник с углом 60°, то он равносторонний. Далее, и поэтому в треугольнике EAB имеем Тогда

Ответ:

Аналоги к заданию № 505691: 505787 508157 Все

Дан выпуклый четырехугольник ABCD с прямым углом А. Окружность, проходящая через вершины А, В и D пересекает стороны ВС и CD в точках M и N соответственно. Прямые BN и DM пересекаются в точке Р, а прямая СР пересекает сторону AD в точке К.

а) Докажите, что точки А, М, Р и К лежат на одной окружности.

б) Найдите радиус этой окружности, если известно, что прямая СK параллельна прямой АМ и АВ = АК = KD =

а) Заметим, что поскольку — диаметр окружности. Значит, в треугольнике точка P — точка пересечения высот, поэтому Тогда откуда и следует описанность четырехугольника

б) По условию и предыдущему пункту Пусть — основание высоты из на Тогда Тогда по свойству пересекающихся хорд откуда и Далее, поэтому По теореме косинусов найдем

Наконец,

Ответ: б)

Источник

• ← известно что обыкновенный речной бобр
• известно что около четырехугольника авсд можно описать окружность →