что не доказывается в геометрии
Что такое аксиома и теорема
Решение всех задач в геометрии построено на логических рассуждениях. С их помощью мы решаем задачи или выводим новые доказательства.
Некоторые из утверждений в геометрии мы используем не задумываясь. Вспомним высказывание, которое мы слышим при самом первом знакомстве с геометрией:
«Через две точки можно провести прямую, и притом только одну».
Но можно ли считать подобное рассуждение доказательством?
Другими словами, утверждение «Через две точки можно провести прямую, и притом только одну» не является доказанным только потому, что мы нарисовали рисунок и по рисунку «на глаз» стало все понятно.
В геометрии действует принцип: «Не верь глазам своим, пока не докажешь утверждение с помощью рассуждений».
Но что нам в таком случае делать? Ведь при решении задач мы используем какие-то очевидные утверждения, не задумываясь об их истинности.
Что такое аксиома
Слово аксиома произошло от древнегреческого слова «axioma» — утверждение, положение.
С точки зрения учащихся, аксиома — лёгкий способ получить отличную оценку. Достаточно просто выучить формулировку. Ведь никаких доказательств для аксиомы учить не требуется.
Всего в геометрии насчитывается около 15 аксиом. В школьном курсе используются далеко не все. Некоторые из них используются в школьном курсе как само собой разумеющееся для нас. Приведем некоторые примеры довольно известных аксиом из школьного курса геометрии:
Что такое теорема
Совсем по-другому обстоят дела с теоремами. Слово теорема происходит от древнегреческого слова «theorema» — смотреть, рассматривать какое-либо утверждение.
Теоремы менее «любимы» учащимися, чем аксиомы. Если учитель попросит рассказать теорему, будет недостаточно, как для аксиомы, сообщить только её формулировку. Потребуется также дать доказательство теоремы.
Примеры формулировок теорем:
Каждое слово или предлог в формулировке играет существенную роль в передаче смысла выражения. Даже просто поменяв порядок слов можно сильно изменить смысл утверждения.
Помните, что все формулировки в геометрии были выверены несколькими тысячами лет развития математики лучшими умами планеты и не терпят никаких словесных изменений.
Что такое лемма
Среди теорем выделяют такие теоремы, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.
Лемма происходит от древнегреческого слова «lemma» – предположение.
Что такое следствие в геометрии
Приведем примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
Если подытожить все вышесказанное, то сравнивая геометрию с высотным домом, можно представить, что:
Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя с самых основ (аксиом) к теоремам.
Невозможно понять геометрию 9 и 10 класса, не выучив аксиомы и теоремы 7 и 8 класса.
Какие геометрические факты можно использовать на ЕГЭ без доказательства?
Нужно уметь применять всем знакомые факты, видеть рисунок и решать больше задач. Но вопрос из заголовка задают очень часто, и ответить на него нужно. Естественно, все сотни признаков и свойств, что есть в вашем школьном учебнике можно использовать. Но как насчет более редких фактов: что можно применять без доказательства, а что нет? Точный ответ: любые факты из школьных учебников, рекомендованных минобром на 2017-2018 год.
Ну а вот заветный список того, что мне все-таки удалось обнаружить в соответствующих учебниках:
→ Теорема Менелая (Атанасян. Геометрия 7-9 классы)
→ Теорема Чевы (Атанасян. Геометрия 7-9 классы)
→ Теорема Птолемея (Мерзляк. Геометрия 8 класс)
→ Прямая Эйлера (Мерзляк. Геометрия 8 класс)
→ Теорема об окружности Эйлера (Бутузов. Геометрия 8 класс)
→ Формула медианы треугольника (Шарыгин. Геометрия 7-9 классы)
→ Формула биссектрисы треугольника (Шарыгин. Геометрия 7-9 классы)
→ Теорема о четырех замечательных точках трапеции (Шарыгин. Геометрия 7-9 классы)
Формулу радиуса вневписанной окружности используйте. Каноническое уравнение эллипса — да пожалуйста! Ключевые формулы метода координат для задачи №14, опять же, есть
Но если здесь есть коллеги по цеху, которые могут уточнить еще несколько популярных вопросов насчет непопулярной теории — черкните, буду признателен! Вот интересующие факты: формула Брахмагупты, теорема Стюарта, формула Эйлера для расстояния между центрами вписанной и описанной окружностями треугольника, понятие определителя квадратной матрицы.
Ну и еще раз в заключение. Вероятность того, что задача ЕГЭ не решается без экзотики, равна нулю (такие события называются невозможными). Вероятность того, что вам вообще попадется конфигурация, для которой актуальна, например, теорема о девяти точках окружности, приблизительно равна 0,015. Вероятность того, что школьник в целом знает что-то «запрещенное», приблизительно равна, не кидайтесь камнями, 0,000037.
Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие аксиомы
Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.
Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.
Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.
Основные аксиомы евклидовой геометрии
Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.
А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.
Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:
Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.
У этой аксиомы два следствия:
Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:
Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.
На картинке можно увидеть, как это выглядит:
Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.
Понятие теоремы
Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.
Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.
Состав теоремы: условие и заключение или следствие.
Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.
Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.
Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.
Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.
Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.
Способы доказательства геометрических теорем
Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.
Приемы для доказательства в геометрии:
Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.
Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:
В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.
Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.
Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:
В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).
Доказательство через синтез
Рассмотрим пример синтетического способа доказательства.
Теорема: сумма углов треугольника равна двум прямым.
Дан треугольник: ABC. Нужно доказать, что A + B + C = 2d.
Доказательство:
Проведем прямую DE, так чтобы она была параллельна AC.
Сумма углов, лежащих по одну сторону прямой, равна двум прямым, следовательно, α + B + γ = 2d.
Так как α = A, γ = C, то заменим в предыдущем равенстве углы α и γ равными им углами: A + B + C = 2d. Что и требовалось доказать.
Здесь исходным предложением в цепи доказательств выбрана теорема о сумме углов, которые лежат по одну сторону прямой. Есть связь с теоремами о равенстве углов накрест-лежащих при пересечении двух параллельных третьею косвенною. Доказываемая теорема есть необходимое следствие всех предложенных теорем и является в цепи доказательств последним заключением.
Доказательство через анализ
Рассмотрим пример аналитического способа доказательства.
Теорема: диагонали параллелограмма пересекаются пополам.
Дан параллелограмм: ABCD.
Доказательство:
Если диагонали пересекаются пополам, то треугольники AOB и DOC равны.
Равенство же треугольников AOB и DOC вытекает из того, что AB = CD, как противоположные стороны параллелограмма и ∠α = ∠γ, ∠β = ∠δ, как накрест-лежащие углы.
Таким образом мы видим, что последовательно данное предложение заменяется другим и такое замещение совершается до тех пор, пока не дойдем до уже доказанного предложения.
Теоремы без доказательств
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:
Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:
где a, b и c — стороны плоского треугольника,
α — угол напротив стороны а.
Следствия из теоремы косинусов:
Понятия свойств и признаков
У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.
Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.
Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.
Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.
Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.
Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.
Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.
А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.
Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.
Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:
Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.
Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.
О теоремах, данных без доказательств
Я учился в математической школе. Учился весьма посредственно, но, например, те, кого вовсе отчисляли, переходя в обычную школу, стабильно учились там на отлично без малейшего напряжения мозга.
Однажды для меня стало большим откровением, что в обычных школах некоторые теоремы и формулы давались без доказательства. То есть, людям просто говорили, что есть теорема Фалеса, а есть — формула Герона. А потом сразу давали задачи, которые можно было решить с их использованием. Это для меня было абсолютным разрывом мозга. Это не укладывалось в голове. Я совершенно не мог понять, какой смысл в том, чтобы проходить формулу, не выводя её — это же тогда просто бессмысленный набор букв и знаков. Ну или максимум «занимательный факт»: британские учёные выяснили, что.
Нас, помню, развлекал учитель математики, читая на перемене вопросы билетов экзамена по геометрии из какой-то там другой школы. Идея того, что в ответ на вопрос нужно тупо по памяти написать формулу или формулировку теоремы, представлялась смешной всему классу.
Позже в университете для некоторых моих одногруппников казалось странной необходимость доказывать теоремы или выводить формулы. По школьной привычке учить формулы наизусть эти люди учили наизусть и вывод формул, не понимая, что там происходит. При этом многие из них благодаря прилежности хорошо писали контрольные; боялись же они экзамена. У меня история была обратная: всегда было очень трудно попасть на экзамен, потому, что для этого надо было сдать зачёт, а чтобы допуститься на него, нужно было написать все контрольные в семестре. Терпения же и внимательности на решение практических задачек всегда не хватало.
Экзамены по математике в университете я сдавал на 4, 4, 4 и 5 (в четвёртом семестре была теория функции комплексного переменного, которую я обожаю).
Каждый раз, когда я сдавал листочек с ответами Олегу Геннадьевичу, напротив большинства пунктов задания он ставил минус. Потом, когда он вызывал меня отвечать, он спрашивал: почему не решили эту задачу? Я говорил: забыл формулу такую-то и откуда она берётся. Он говорил: ну, а если бы знали формулу, что бы делали? Я отвечал: нашёл бы то-то, подставил бы в формулу, выразил бы это через это и получил бы ответ. Он подсказывал: ну, вот если вы возьмёте то-то, представите это как сумму этого и этого, а потом домножите на то-то, то вы увидите, как вывести формулу. Я садился, выводил формулу, и он ставил мне плюсик, не дожидаясь, пока я решу собственно задачу. Потом мы переходили к следующему пункту. Почему, спрашивал он, не доказали теорему? Я говорил: я знаю, что при соблюдении таких-то условий она вытекает из того-то через то-то и то-то, но совершенно не помню, как от вот этой формулы делается переход дальше. Он говорил: ну дак дальше из того-то следует, что так-то и так-то. А! перебивал его я, ну точно же, и тогда мы сможем заменить это на это, и там то-то то-то сократится и останется как раз то, что нам нужно!
Люди учившие всё наизусть, частенько уходили с двойками, даже если на листочке напротив всего стояли плюсы: когда в ходе разговора выяснялось, что человек не соображает, листочек уже не имел никакого значения. Он ценил понимание больше прилежности, и понимающему человеку готов был прощать лень и плохую подготовку, за что я ему очень благодарен.
Теорема и её доказательство, формула и её вывод, данные в неразрывной связке, воспитывают навык видеть во всём здравый смысл. Не обязательно знать это всё наизусть, чтобы сформировать правильное отношение к математике. Важно, что математика существовала бы, даже если бы не было Пифагора и Фалеса, Эйлера и Коши, Остроградского и Гаусса. Всё работает так, как работает, с неизбежностью, а не потому, что кто-то так придумал.
Когда люди учат в школе теоремы без доказательств, они потом твердят, что факториал нуля равен 1 по определению. Знающие же то, что математика существует независимо от того, что написано в определениях, понимают, что факториал нуля равен 1 объективно, и он оставался бы равен 1, даже если бы об этом никто не написал в определении.
В математике так много разделов и направлений, и они так сильно взаимосвязаны, что практически невозможно придумать способ последовательного изложения всего этого, чтобы никогда не было необходимости ссылаться вперёд. Нужно быть готовым, что иногда тебе придётся поверить во что-то на слово, а уже позже убедиться, что это действительно так. Человек же, приученный всегда верить на слово, про вторую часть мгновенно забывает.
Какую аналогию использует репетитор по математике в обучении доказательствам. Геометрия 7 класс)
Может ли репетитор по математике развить в 7 классе у ученика способность создавать и описывать такие логические маршруты? Безусловно. Причем готовить почву для такого развития нужно с малых лет. В 5 классе в распоряжении репетитора имеются олимпиадные задачи. Их можно найти у меня на сайте. В 7 классе вместо олимпиадного материала репетитором используются типовые геометрические задачи на доказательство. И те и другие вызывают серьезные затруднения у рядового школьника и требуют акуратного и тонкого подхода к ним со стороны репетитора.
Главным препятствием на пути формирования логического аппарата у ученика 7 класса (при условии, что он хорошо знает содержание теорем) является существенное изменение (по сравнению с 5 — 6 классом) характера работы с математическими (в основном геометрическими) объектами. За время учебы в младшей школе школьник привыкает к тому, что все необходимое для решения задачи дается ему в условии. И все формулы всегда работают. Когда репетитор по математике в 7 классе впервые произносит слово «доказательство», то от прежнего постоянства мало что остается. Оказывается, что изучаемое не всегда можно использовать. Это обстоятельство оказывает влияние даже на бывших отличников, которые к середине 7 класса неожиданно для себя и родителей начинают приносить непривычно низкие оценки по геометрии.
Меняется стиль решения задач (теперь в них нужно постоянно что-то доказывать) и требования к их оформлению. Из-за того, что новые (виртуальные) формы лишены предметной привязки к реальным процессам (к измерениям и нахождениям) они труднее запоминаются. Ученик не может визуально соотнести (сравнить) происходящее в доказательстве с каким-нибудь близким и понятным действием или знакомым явлением. Отсюда и проблемы.
Многие репетиторы по математике строят разъяснительную работу исключительно на оформлении задач, объясняя логику действий записями. Однако далеко не всегда эти записи помогают пониманию геометрии как науки. Даже если репетитор использует систему классических сокращений (систему фраз, стрелок, знаков, объединяющих скобок и др.), методично повторяя их из урока в урок. К сожалению, математическая точность и лаконичности не всегда хватает для запуска «мозгового двигателя» ученика.
Мне доводилось сталкивался с ситуациями, когда в 7 классе репетитор по математике (по совместительству — школьный преподаватель) заставлял своего подопечного писать целые трактаты — сочинениями на тему «почему и отчего». Логику поиска маршрута решения ученик не видел и просто записывал в тетрадь под диктовку репетитора стандартные математические штампы и обороты. Писал и не только. Воспроизвести их в аналогичных ситуациях он не мог.
Большой объем записей при классическом оформлении мешает концентрироваться на построении самой сути доказательства — логической цепочки (дорожки, маршрута). Если репетитор по математике начинает расставлять ссылки на все используемые в доказательстве теоремы (или заполняет логические переходы формулировками теорем), то непременно мешают ученику выделить главную линию доказательства. Чтобы указать в оформлении факты, на которых основывается тот или иной логический вывод, репетитору приходится каждый раз их указывать. Это также мешает концентрироваться на главном, ибо значительно увеличивает объемы записей.
Длинное и путанное оформление доказательства получается даже при использовании классических сокращений. В результате репетитор по математике «теряет» ученика уже на втором-третьем выводе-переходе. Память и внимание в 7 классе работают крайне неустойчиво, поэтому преподавателю приходится постоянно возвращаться к одному и тому же. Это только вносит смуту в ход рассуждений.
Какую методику использует репетитор по математике для наилучшего восприятия техники доказательств? Важно значительно сократить количество записей. Это удается сделать только при работе с краткими схемами. Каждая такая схема составляется в процессе поиска доказательства и служит отличным средством для визуального контроля за происходящим. Она не является заменой оформлению и играет роль некой памятки или опорного черновика. Репетитор кладет ее перед глазами учащегося и заносит информацию обо всех основных этапах (узлах) доказательства. Что они из себя представляют и как в 7 классе можно заинтересовать доказательствами пойдет речь далее.
Как репетитор по математике снимает проблему понимания логики доказательства?
Одна из проблем, с которой постоянно сталкивается репетитор — неумение учеников искать решение, неумение думать. Для формирования навыка рассуждений с нуля, как мне кажется, нужны определенные организационные условия, построенные на сравнении доказательства с каким-нибудь простым и понятным реальным процессом. Если репетитор по математике этого не сделает, — возникнут сложности в объяснениях. Доказательство примет строгие математические формы, трудно воспринимаемые детьми. Возникнут проблемы с переключением внимания и, как следствие, увеличится вероятность обнуления «буфера» памяти. Репетиторы часто жалуются на это. В процесс размышлений над задачей ученики забывают о полученных ими же математических фактах. Докажут равенство углов и забудут про это. Или вообще забудут о том, что доказывает :).
Аналогия захвата города
Понимание доказательства требует полного визуального контроля за происходящим. Кроме этого нужна достаточно интересная и простая аналогия с реальностью. Что интересно ученику 7 класса? Он еще ребенок и, как правило, не вышедший из игрового возраста. Репетитор по математике просто обязан это использовать. Игровая форма деятельности в сочетании с точной аналогией дает великолепные результаты. Я сравниваю доказательство геометрического факта с проведением широкомасштабной военной операции (битвой, сражением, завоеванием), что составляет суть одной из самых популярных игр у подростков — игрой в стратегию.
Известно, например, что имея танки, можно захватить город «С», который репетитор по математике ассоциирует с каким-либо логическим условием (ранее изученным математическим фактом). Пройденные ранее теоремы — дороги, ведущие от одного города к другому (этих городов между «А» и «В» — великое множество). Эти дороги построены, но попасть на них можно только проложив путь от города А.
Если какой-то математический факт является следствием сразу нескольких условий (к городу ведут несколько дорог), то захватить его ресурсы можно только направив армейские подразделения сразу по всем таким дорогам 
(иначе генералы вражеской армии вместе необходимым нам для продолжения войны ресурсами (продовольствием, снарядами, танками и др) просто уйдут от нас одной из них.
Знакомство с правилами игры «захват города» происходит гораздо быстрее, чем это может показаться по описанию. Репетитору достаточно показать одну-две задачи и ребенок уже погружен в процесс. Глаза горят, интересно. Если репетитор по математике хочет научить своего подопечного классическому методу поиска необходимых условий (решению от конца к началу), — то лучше всего навести ученика на эту идею при последовательном обсуждении двух стратегий составления плана операции:
Пример того, как подобную схему строит репетитор по математике — план завоевания города «В» (он выделен синим цветом): 
Пример задачи по геометрии (7 класс): 
Рассмотрим типовую задачу по геометрии на доказательство параллельности двух прямых, взятую из материалов широко распространенного сборника «Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 7 класса» авторов А.П. Ершова и В.В Голобородько. Вариант В1 из работы С10. Условие задачи и рисунок Вы видите слева.
Колпаков А.Н. Репетитор по математике — Москва. Автор приема работы.
Здравствуйте! Здорово вы описывайте свою методику по работе с доказательствами! Мне очень было интересно наблюдать за захватом города))) Надо попробовать. Спасибо за идею!