что называется законом распределения вероятностей случайной величины
Формулы: законы распределения случайных величин
В данном разделе вы найдете формулы по теории вероятностей, описывающие законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин: биномиальный, Пуассона, экспоненциальный, равномерный, нормальный.
Каталог формул по теории вероятности онлайн
Законы распределения на этой странице
Дискретные случайные величины
Биномиальное распределение ДСВ
| $x_k$ | 0 | 1 | . | k | . | n |
| $p_k$ | $q^n$ | $n\cdot p \cdot q^ | $C_n^k \cdot p^k \cdot q^ | $p^n$ |
Здесь вероятности находятся по формуле Бернулли:
Числовые характеристики биномиального распределения:
Пуассоновское распределение ДСВ
Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.
Ряд распределения по закону Пуассона имеет вид:
| $x_k$ | 0 | 1 | . | k | . |
| $p_k$ | $e^<-\lambda>$ | $\lambda e^<-\lambda>$ | . | $\frac<\lambda^k> | . |
Вероятности вычисляются по формуле Пуассона:
Числовые характеристики для распределения Пуассона:
Геометрическое распределение ДСВ
Формула для вероятностей:
Ряд распределения геометрического закона:
| $x_k$ | 0 | 1 | 2 | . | k | . |
| $p_k$ | $p$ | $q\cdot p$ | $q^2 \cdot p$ | . | $q^k \cdot p$ | . |
Гипергеометрическое распределение ДСВ
$$M(X)=\frac
Непрерывные случайные величины
Показательное распределение НСВ
Экспоненциальное или показательное распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.
Числовые характеристики можно найти по формулам:
Равномерное распределение НСВ
Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчётов (например, ошибка округления числа до целого распределена равномерно на отрезке), в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчинённых заданному распределению.
Числовые характеристики равномерно распределенной случайной величины:
График плотности вероятностей:
Нормальное распределение или распределение Гаусса НСВ
Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, – распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике.
Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.
Числовые характеристики для нормального распределения:
Пример графика плотности распределения для различных значений среднего и СКО:
Функция Лапласа определяется как:
Решенные задачи по теории вероятностей
Ищете готовые задачи по теории вероятностей? Посмотрите в решебнике:
Случайные события, случайные величины. Их законы распределения и числовые характеристики
Обозначим: X, Y, Z – случайные величины
xi, yi, zi – возможные значения случайных величин.
Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные возможные значения 
или 
с определенными вероятностями.
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины, независимо от величины промежутка, бесконечно
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между ее возможными значениями и вероятностями их появления. Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически (в виде многоугольника распределения).
Табличное задание закона распределения:
возможные значения случайной величины;
вероятности появления случайной величины.
Аналитическое задание закона распределения:
k = 0, 1, 2, …, n – количество возможных появлений событий
q = 1-p – вероятность не появления событий.
— интенсивность потока событий.
Графическое задание закона распределения представлено на рис.6.1.
Интегральная функция распределения позволяет задать как дискретную, так и непрерывную случайную величину.
Свойства интегральной функции распределения:
, если 
,
, если 
.
График ИФР непрерывной случайной величины представлен на рис. 6.2
График ИФР дискретной случайной величины представлен на рис. 6.3
Для описания распределения вероятностей непрерывной случайной величины используется дифференциальная функция распределения.
Дифференциальная функция распределения (ДФР) (или плотность вероятности) – это первая производная от интегральной функции.
Интегральная функция распределения является первообразной для дифференциальной функции распределения. Тогда
График дифференциальной функции распределения принято называть кривой распределения.
Дискретные случайные величины
Дискретная случайная величина — это такая случайная величина, значения которой могут быть не более чем счетными, то есть либо конечными, либо счетными. Под счетностью имеется ввиду, что значения случайной величины можно занумеровать.
Пример 1. Приведем примеры дискретных случайных величин:
в) число прибывших кораблей на борт (счетное множество значений).
г) число вызовов, поступающих на АТС (счетное множество значений).
1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
$\begin
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end
$\begin
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end
2. Математическое ожидание дискретной случайной величины.
3. Дисперсия дискретной случайной величины.
Возможные значения случайных величин с равными математическими ожиданиями могут по-разному рассеиваться вокруг своих средних значений. Например, в двух студенческих группах средний балл за экзамен по теории вероятностей оказался равным 4, но в одной группе все оказались хорошистами, а в другой группе — только троечники и отличники. Поэтому возникает необходимость в такой числовой характеристике случайной величины, которая бы показывала разброс значений случайной величины вокруг своего математического ожидания. Такой характеристикой является дисперсия.
4. Функция распределения дискретной случайной величины.
Способ представления дискретной случайной величины в виде ряда распределения не является единственным, а главное он не является универсальным, поскольку непрерывную случайную величину нельзя задать с помощью ряда распределения. Существует еще один способ представления случайной величины — функция распределения.
Распределения и моменты
Закон распределения случайной величины
Для характеристики вероятности появления различных значений случайной величины используют законы распределения вероятностей случайной величины. При этом используют два вида представления законов распределения: интегральный и дифференциальный.
Интегральный закон, или функция распределения вероятностей случайной величины X, называется функция, значение которой для любого x является вероятностью события, заключающегося в том, что случайная величина X принимает значения, меньшие x, то есть функция F(x)=P
Рассмотрим типичную задачу по вычислению математического ожидания на бинарных опционах. Допустим, брокер на выигрыш выплачивает 75% от размера ставки, а на проигрыш забирает всю ставку 100%. Найдем матожидание для метода прогнозирования, который дает 65% успешных сделок.
Собираем это всё в сумму по формуле математического ожидания для дискретного распределения и получаем.
Положительное математическое ожидание говорит о том, что данный метод прогнозирования можно использовать на бинарных опционах. Трейдер будет в прибыли при большом количестве сделанных ставок, теоретически при бесконечном числе ставок (и если у него хватит начального депозита на просадки в серии проигрышей).
А если метод прогнозирования трейдера дает только 65% прибыльных сделок?
В этом случае p=0.55, q=0.45. Подставляя эти данные в формулу математического ожидания для дискретного распределения, получаем μ=-0.0375.
Отрицательное матожидание говорит о том, что данный метод прогнозирования ни в коем случае нельзя применять. Если с таким методом прогнозирования трейдер получил прибыль на конечной серии ставок, то это простое случайное везение.
Формула математического ожидания позволяет найти пограничное значение доли прибыльных сделок, которое необходимо получить от метода прогнозирования, и вывести основную формулу бинарных опционов. Основная формула бинарных опционов соответствует нулевому математическому ожиданию.
На Форексе и на фондовой бирже всё вычисляется аналогично. С той лишь разницей, что там параметры α и ß определяются через положения ордеров TakeProfit и StopLoss. Суть параметров α и ß, это доли прибыли и убытка от размера собственных средств трейдера, участвующих в сделке.
Моменты распределения
Начальный момент k-го порядка вычисляется по следующим формулам.
Для дискретного распределения:
Для непрерывного распределения:
Нулевой начальный момент всегда равен единице, так как эти формулы при k=0 переходят в условия нормировки. А первый начальный момент (k=1), это как раз и есть математическое ожидание, о котором говорилось выше.
Центральный момент k-го порядка вычисляется по следующим формулам.
Для дискретного распределения:
Для непрерывного распределения:
Для центральных моментов также нулевой момент всегда равен единице. А первый центральный момент всегда равен нулю. Мы, как бы, делаем такой параллельный перенос, при котором точка математического ожидания переходит в точку ноль.
Законы распределения дискретных случайных величин
Можно выделить наиболее часто встречающиеся законы распределения дискретных случайных величин:
Для данных распределений дискретных случайных величин расчет вероятностей их значений, а также числовых характеристик (математическое ожидание, дисперсия, и т.д.) производится по определенных «формулам». Поэтому очень важно знать данные типы распределений и их основные свойства.
1. Биномиальный закон распределения.
$\begin
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end
2. Закон распределения Пуассона.
Пример. Примерами случайных величин, подчиненных закону распределения Пуассона, могут быть: число автомашин, которые будут обслужены завтра автозаправочной станцией; число бракованных изделий в произведенной продукции.
3. Геометрический закон распределения.
Пример. Примерами случайных величин, имеющих геометрическое распределение, могут быть: число выстрелов до первого попадания в цель; число испытаний прибора до первого отказа; число бросаний монеты до первого выпадения орла и т.д.
$\begin
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end
$M\left(X\right)=\sum^n_
Среднее квадратическое отклонение:
4. Гипергеометрический закон распределения.
Пример. В кредитном отделе банка работают 5 специалистов с высшим финансовым образованием и 3 специалиста с высшим юридическим образованием. Руководство банка решило направить 3 специалистов Для повышения квалификации, отбирая их в случайном порядке.
а) Составьте ряд распределения числа специалистов с высшим финансовым образованием, которые могут быть направлены на повышение квалификации;
б) Найдите числовые характеристики этого распределения.
$\begin
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end