что называется рациональной дробью
Общие сведения
Математика — наука о числах и действиях над ними. Значение, которое можно записать в виде обыкновенной дроби, называют рациональным. Оно состоит из целого числа в числителе и натурального в знаменателе. Простое выражение можно представить как бесконечную десятичную дробь. Множество рациональных чисел обозначают латинской буквой Q. Если действительное значение не рациональное, оно иррациональное.
Выражения могут быть представлены в нестандартном виде, поэтому приходится выполнять дополнительные преобразования. Это возможно, так как делимое и делитель являются самодостаточными. Упрощения выполняются путём разложения на множители. При этом по возможности следует выполнять действия как для числителя, так и знаменателя. Операции преобразования включают в себя:
Наиболее часто вызывает сложность подбор общего знаменателя. Это приведение основывается на основном свойстве дроби. Согласно ему, умножение на ненулевой многочлен одновременно делимого и делителя не приводит к изменению результата. Отсюда следует, что числитель и знаменатель можно возводить в квадрат, извлекать корень.
Для успешного выполнения действий важно знать формулы сокращённого умножения. Это базисные знания, без которых решать рациональные дроби в 8 классе будет невозможно.
Всего используется 7 теорем: разность кубов и квадратов, произведение разности и суммы, куб суммы и разности, умножение на неполный квадрат. Используя знания, полученные в седьмом классе, многие операции можно выполнять в уме и приводить многочлен к стандартному виду без предварительного раскрытия скобок.
Свойства дроби
Пусть имеется множество, каждому члену которого поставлено в соответствие число игрек. Про такое положение говорят, что множеству задана числовая функция: y = f (x), где x Є D. Описывается область определением функции и обозначается как D (f (x)). Множество можно представить как отношение двух многочленов. Когда в числителе стоит многочлен энной степени, а в знаменателе эмной, то f (x) называют рациональным отношением или дробью.
Такие выражения обладают рядом свойств. Основное из них выражают формулой: P (x)/Q (x) = P (x) * R (x) / Q (x) * R (x). Справедливо оно лишь для случая, при котором множества Q (x) и R (x) неравны нулю, при этом R (x) является многочленом. Формулировка свойства звучит следующим образом: делимое и делитель можно помножить на одинаковое выражение. Например, им может быть число, одночлен или другой многочлен.
К другим свойствам относят:
Если равенство f/g =y/x справедливо, при этом y/x = n/m, верным будет и выражение: f/g = n/m. Отсюда следует, что рациональную дробь можно превратить в обыкновенную, если её делитель и делимое можно умножить или разделить на одинаковый многочлен. Единственное условие — он должен быть отличным от нуля.
Рациональную дробь можно представить в виде суммы. Выполняют это действие, основываясь на правиле сложения или вычитания выражений с одинаковыми знаменателями. Например, k * m — k / k+1 = 1/k + (k2 * m — k2 — k — 1) / (k2 + k).
Из свойств рациональных отношений следует, что для вычитания их друг из друга нужно привести члены к общему знаменателю и найти разность числителей. Аналогично поступают и для операции сложения, только вычитание в числителе заменяют складыванием. Произведение же находится простым перемножением делимых и делителей. А вот деление выполняют по-другому. Чтобы найти частное, нужно первое выражение умножить на обратную вторую дробь. Чтобы возвести дробь в степень, нужно отдельно в неё возвести числитель и знаменатель. По тому же принципу извлекают и корень.
Понимая, как правильно использовать приведённые свойства, решать задания на контрольной работе в школе будет несложно. Но перед сдачей теста необходимо попрактиковаться в самостоятельном решении.
Изменение знака
Следует отметить, что приём по изменению знака часто используют при разложении рациональных отношений на простейшие дроби. Например, (2×3 — 3) / (- x3 — x). Так как степень числа в числителе меньше чем в знаменателе, нужно использовать разложение. Причём в другом случае пришлось бы применять деление для нахождения целой части. Для удобства действия выражение нужно умножить на минус единицу. В результате несложно будет определить верность равенства: 2×3 + 3 / (x3 + x) = 2 + (-2x + 3) / (x3 + x).
Решение примеров
Самостоятельное решение рациональных дробей в алгебре в 8 классе строится на цепочке преобразований. Первое, что нужно сделать — оценить возможность разложения отношения на множители. Для этого лучше использовать формулы сокращённого умножения или дискриминант. Алгоритм преобразований можно представить в следующем виде:
Вот 3 типовые задачи, которые обычно предлагают решить студентам при сдаче зачёта:
При упрощении рациональных отношений сложность связана с тем, что не всегда просто найти общий множитель для числителя и знаменателя. Причём он и не всегда существует, поэтому и нужно пробовать разложение на множители. Если такого члена нет, дробь упростить нельзя.
Рациональная дробь
Рациональная дробь
Рациональная дробь — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид
где P(x) и Q(x) некоторые многочлены.
Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если наоборот.
Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби
Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения (x − a) k (a — вещественный корень Q(x)) либо (x 2 + px + q) k (где x 2 + px + q не имеет действительных корней), причём степени k не больше кратности соответствующих корней в многочлене Q(x). На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Рациональная дробь» в других словарях:
Дробь (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Дробь. 8 / 13 числитель числитель знаменатель знаменатель Две записи одной дроби Дробь в математике число, состоящее из одной или нескольких частей… … Википедия
Дробь — В Викисловаре есть статья «дробь» Наименование символа «⁄» (другое, распространённое по большей части в английском языке, название символа солидус (англ.), или слэш), например, в номерах домов. Так номер дома «5/17» читается «пять… … Википедия
РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — 1) Р. ф. функция w=R(z), где R(z) рациональное выражение от z, т. е. выражение, полученное из независимого переменного z и нек рого конечного набора чисел (действительных или комплексных) посредством конечного числа арифметич. действий. Р. ф.… … Математическая энциклопедия
РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО — число, выражаемое рациональной дробью. Формальная теория Р. ч. строится с помощью пар целых чисел. Р а ц и о н а л ь н о й д р о б ь ю наз. упорядоченная пара ( а, b )целых чисел а и b, у к рой b№0. Две рациональные дроби и наз. э к в и в а л е н … Математическая энциклопедия
Математика
Урок 1: Рациональные дроби и их свойства. Основное свойство дроби. Сокращение дробей
Рациональные дроби и их свойства. Основное свойство дроби. Сокращение дробей.
Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.
Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, так как для нахождения значения целого выражения нужно выполнить действия, которые всегда возможны.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.
Выражение вида a b называется, как известно, дробью.
Дробь, числитель и знаменатель которой – многочлены, называют рациональной дробью.
В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.
Это уравнение имеет два корня: 0 и 9. Следовательно, допустимыми значениями переменной а являются все числа, кроме 0 и 9.
Дробь a b равна нулю тогда и только тогда, когда a = 0 и b ≠ 0.
Докажем, что это равенство верно не только при натуральных, но и при любых других значениях а, b и с, при которых знаменатель отличен от нуля, т.е. при b ≠ 0 и с ≠ 0.
На основании сочетательного и переместительного свойств умножения имеем:
Так как bс ≠ 0, то по определению частного
Мы показали, что для любых числовых значений переменных b и с, где b ≠ 0 и с ≠ 0, верно равенство a b = ac bc .
Равенство сохраняет силу и в том случае, когда под буквами а, b и с понимают многочлены, причем b и с — ненулевые многочлены, т. е. многочлены, не равные тождественно нулю.
Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.
Это равенство верно при всех допустимых значениях переменных. Такие равенства будем называть тождествами. Ранее тождествами мы называли равенства, верные при всех значениях переменных. Теперь мы расширяем понятие тождества.
Определение. Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.
Основное свойство рациональной дроби позволяет выполнять приведение дроби к новому знаменателю и сокращение дробей. Приведем примеры.
2 x 7 y = 2 x · 5 y 2 7 y ∙ 5 y 2 = 10 x y 2 35 y 3
Если изменить знак числителя (или знак знаменателя) дроби и знак перед дробью, то получим выражение, тождественно равное данному.
Что называют рациональной дробью.
Рациональная дробь
[править] Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Рациональная дробь — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид
где P(x) и Q(x) некоторые многочлены.
Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если наоборот.
Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби
Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения (x − a) (a — вещественный корень Q(x)) либо (x − a)(x − b) (a, b — комплексные корни Q(x)) в степени, меньшей, либо равной кратности соответствующих корней в многочлене Q(x). На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.
Метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби предложил в 1844 году М. В. Остроградский.
Рациональная дробь — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид
где P(x) и Q(x) некоторые многочлены.
Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если наоборот.
Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби
Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения (x − a) (a — вещественный корень Q(x)) либо (x − a)(x − b) (a, b — комплексные корни Q(x)) в степени, меньшей, либо равной кратности соответствующих корней в многочлене Q(x). На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.
Рациональные дроби и их свойства
Рациональная дробь и ее основное свойство
Целые выражения в алгебре представляют собой такие выражения, которые состоят из чисел и переменных, полученных путем арифметических действия сложения, вычитания, умножения и деления на число, не равное нулю. Для дробных выражений характерно также использование деления на выражение, содержащее переменные. Данные выражения, целые и дробные, объединены общим понятием рациональных выражений.
Рациональная дробь является дробью, в которой числитель и знаменатель представляют собой многочлены.
Рациональная дробь (рациональная функция) является отношением пары многочленов \(P_
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Объяснение основного свойства дроби: когда числитель и знаменатель какой-либо рациональной дроби умножают на одинаковый многочлен, который не равен тождественно нулю, получается дробь, равная начальной.
Ключевое свойство рациональной дроби можно выразить формулой:
Допустимо умножать и делить на одинаковое число, которое не равно нулю, одночлен или многочлен, числитель и знаменатель рациональной дроби. В качестве примера можно преобразовать следующее выражение подобного типа:
Когда меняют знак лишь у числителя, либо только у знаменателя, дробь меняет свой знак:
Можно сделать вывод, что:
В качестве самостоятельного примера приведем выражение:
Область определения рациональной дроби
Допустимыми значениями переменных называют такие значения переменных, при которых выражение приобретает смысл.
Область определения рациональной дроби представляет собой все значения для переменных, которые не обращают знаменатель в нуль.
Рациональные дроби и операции над ними
Тождеством называют равенство, которое является верным при любых допустимых значениях переменных, входящих в состав этого равенства. Арифметические действия с рациональными дробями характеризуются следующими свойствами:
Сокращение рациональных дробей
При сокращении дробей требуется разделить числитель и знаменатель дроби на единый множитель. Такая возможность доступна благодаря ключевому свойству дроби.
В том случае, когда нужно выполнить сокращение рациональной дроби, следует разложить на множители и числитель, и знаменатель. При наличии у числителя и знаменателя общих множителей представляется возможным сократить такую дробь. При отсутствии единых множителей подобное преобразование невозможно.
Приведение рациональных дробей к общему знаменателю
Общий знаменатель для нескольких дробей, являющихся рациональными, представляет собой такое целое рациональное выражение, которое можно разделить на знаменатель каждой из дробей.
Определим общий знаменатель дробей:
В качестве общего знаменателя также можно выбрать следующие выражения:
Следует выбрать такой общий знаменатель, на который можно поделить любой другой общий знаменатель. Наиболее простой знаменатель является наименьшим общим знаменателем.
Таким образом, для рассмотренного выражения наименьшим общим знаменателем является \((х+2)(х-2)\) :
Дополнительный множитель для заданной дроби равен частному от деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби.
Алгоритм действий для приведения нескольких рациональных дробей к единому знаменателю:
Сложение и вычитание рациональных дробей
Сумма пары или большего количества рациональных дробей, которые имеют одинаковые знаменатели, тождественно равна дроби с аналогичным знаменателем и с числителем, соответствующим сумме числителей дробей, участвующих в сложении:
Данное правило распространяется и на действия с вычитанием дробей, имеющих одинаковые знаменатели:
Умножение и деление рациональных дробей
Произведение пары или большего количества рациональных дробей тождественно равно дроби с числителем, равным произведению числителей, и знаменателем, который соответствует произведению знаменателей перемножаемых дробей:
Частное от деления пары рациональных дробей тождественно равно дроби с числителем, равным произведению числителя первой дроби и знаменателя второй дроби, и знаменателем, который является произведением знаменателя первой дроби и числителя второй дроби:
В том случае, когда требуется умножить или разделить рациональную дробь на многочлен, можно использовать данные правила. Перед вычислениями потребуется перевести заданный многочлен в дробь, знаменатель которой равен единице.
С учетом опции сокращения рациональной дроби, полученной по итогам умножения или деления рациональных дробей, обычно при решении задач в первую очередь раскладывают числители и знаменатели начальных дробей на множители, а затем переходят к выполнению умножения или деления.
Возведение рациональной дроби в целую степень
При возведении рациональной дроби \( \frac
\) в натуральную степень n требуется возвести в указанную степень по отдельности числитель и знаменатель дроби. Первое выражение является числителем, а второе выражение соответствует знаменателю результирующей дроби:
В том случае, когда необходимо возвести дробь в целую отрицательную степень, потребуется применить тождество:
Преобразование рациональных выражений
В процессе преобразования какого-либо рационального выражения складывают, вычитают, умножают и делят рациональные дроби, а также возводят в натуральную степень. Любое рациональное выражение преобразуется в дробь с числителем и знаменателем в виде целых выражений. Это является целью тождественных преобразований рациональных выражений.