что называется критической силой потери устойчивости стержня

Что называется критической силой потери устойчивости стержня

Во всем предыдущем изложении мы определяли поперечные размеры стержней из условий прочности. Однако разрушение стержня может произойти не только потому, что будет нарушена прочность, но и оттого, что стержень не сохранит той формы, которая ему придана конструктором; при этом изменится и характер напряженного состояния в стержне.

Наиболее типичным примером является работа стержня, сжатого силами Р. До сих пор для проверки прочности мы имели условие

Это условие предполагает, что стержень все время, вплоть до разрушения работает на осевое сжатие. Уже простейший опыт показывает, что далеко не всегда возможно разрушить стержень путем доведения напряжений сжатия до предела текучести или до предела прочности материала.

Если мы подвергнем продольному сжатию тонкую деревянную линейку, то она может сломаться, изогнувшись; перед изломом сжимающие силы, при которых произойдет разрушение линейки, будут значительно меньше тех, которые вызвали бы при простом сжатии напряжение, равное пределу прочности материала. Разрушение линейки произойдет потому, что она не сможет сохранить приданную ей форму прямолинейного, сжатого стержня, а искривится, что вызовет появление изгибающих моментов от сжимающих сил Р и, стало быть, добавочные напряжения от изгиба; линейка потеряет устойчивость.

Поэтому для надежной работы конструкции мало, чтобы она была прочна; надо, чтобы все ее элементы были устойчивы: они должны при действии нагрузок деформироваться в таких пределах, чтобы характер их работы оставался неизменным. Поэтому в целом ряде случаев, в частности, для сжатых стержней, помимо проверки на прочность, необходима и проверка на устойчивость. Для осуществления этой проверки надо ближе ознакомиться с условиями, при которых устойчивость прямолинейной формы сжатого стержня нарушается.

Рис.1. Расчетная схема

Возьмем достаточно длинный по сравнению с его поперечными размерами стержень, шарнирно-прикрепленный к опорам (Рис.1), и нагрузим его сверху центрально силой Р, постепенно возрастающей. Мы увидим, что пока сила Р сравнительно мала, стержень будет сохранять прямолинейную форму. При попытках отклонить его в сторону, например путем приложения кратковременно действующей горизонтальной силы, он будет после ряда колебаний возвращаться к первоначальной прямолинейной форме, как только будет удалена добавочная сила, вызвавшая отклонение.

При постепенном увеличении силы Р стержень будет все медленнее возвращаться к первоначальному положению при проверках его устойчивости; наконец, можно довести силу Р до такой величины, при которой стержень, после небольшого отклонения его в сторону, уже не выпрямится, а останется искривленным. Если мы, не удаляя силы Р, выпрямим стержень, он уже, как правило, не сможет сохранить прямолинейную форму. Другими словами, при этом значении силы Р, называемом критическим , мы будем иметь такое состояние равновесия, когда исключается вероятность сохранения стержнем заданной ему прямолинейной формы).

Переход к критическому значению силы Р происходит внезапно; стоит нам очень немного уменьшить сжимающую силу по сравнению с ее критической величиной, как прямолинейная форма равновесия вновь делается устойчивой.

С другой стороны, при очень небольшом превышении сжимающей силой Р ее критического значения прямолинейная форма стержня делается крайне неустойчивой; достаточно при этом небольшого эксцентриситета приложенной силы, неоднородности материала по сечению, чтобы стержень искривился, и не только не вернулся к прежней форме, а продолжал искривляться под действием все возрастающих при искривлении изгибающих моментов; процесс искривления заканчивается либо достижением совершенно новой (устойчивой) формы равновесия, либо разрушением.

Исходя из этого, мы должны практически считать критическую величину сжимающей силы эквивалентной нагрузке, «разрушающей» сжатый стержень, выводящей его (и связанную с ним конструкцию) из условий нормальной работы. Конечно, при этом надо помнить, что «разрушение» стержня нагрузкой, превышающей критическую, может происходить при непременном условии беспрепятственного возрастания искривления стержня; поэтому если при боковом выпучивании стержень встретит боковую опору, ограничивающую его дальнейшее искривление, то разрушение может и не наступить.

Обычно подобная возможность является исключением; поэтому практически следует считать критическую сжимающую силу низшим пределом «разрушающей» стержень силы.

Рис.2. Аналогия понятия устойчивости из механики твердого тела

Явление потери устойчивости при сжатии можно по аналогии иллюстрировать следующим примером из механики твердого тела (рис.2). Будем вкатывать цилиндр на наклонную плоскость ab, которая потом переходит в короткую горизонтальную площадку bс и наклонную плоскость обратного направления cd. Пока мы поднимаем цилиндр по плоскости ab, поддерживая его при помощи упора, перпендикулярного к наклонной плоскости, он будет в.состоянии устойчивого равновесия; на площадке bс его равновесие делается безразличным; стоит же нам поместить цилиндр в точку с, как его равновесие сделается неустойчивым— при малейшем толчке вправо цилиндр начнет двигаться вниз.

Описанную выше физическую картину потери устойчивости сжатым стержнем легко осуществить в действительности в любой механической лаборатории на очень элементарной установке. Это описание не является какой-то теоретической, идеализированной схемой, а отражает поведение реального стержня под действием сжимающих сил.

Потерю устойчивости прямолинейной формы сжатого стержня иногда называют «продольным изгибом», так как она влечет за собой значительное искривление стержня под действием продольных сил. Для проверки на устойчивость сохранился и до сих пор термин «проверка на продольный изгиб», являющийся условным, так как здесь речь должна идти не о проверке на изгиб, а о проверке на устойчивость прямолинейной формы стержня.

Установив понятие о критической силе, как о «разрушающей» нагрузке, выводящей стержень из условий его нормальной работы, мы легко можем составить условие для проверки на устойчивость, аналогичное условию прочности.

Критическая сила вызывает в сжатом стержне напряжение, называемое «критическим напряжением» и обозначаемое буквой . Критические напряжения являются опасными напряжениями для сжатого стержня. Поэтому, чтобы обеспечить устойчивость прямолинейной формы стержня, сжатого силами Р, необходимо к условию прочности добавить еще условие устойчивости:

где — допускаемое напряжение на устойчивость, равное критическому, деленному на коэффициент запаса на устойчивость, т. е. .

Для возможности осуществить проверку на устойчивость мы должны показать, как определять и как выбрать коэффициент запаса .

Формула Эйлера для определения критической силы.

Для нахождения критических напряжений надо вычислить критическую силу , т. е. наименьшую осевую сжимающую силу, способную удержать в равновесии слегка искривленный сжатый стержень.

Эту задачу впервые решил академик Петербургской Академии наук Л. Эйлер в 1744 году.

Заметим, что самая постановка задачи иная, чем во всех ранее рассмотренных отделах курса. Если раньше мы определяли деформацию стержня при заданных внешних нагрузках, то здесь ставится обратная задача: задавшись искривлением оси сжатого стержня, следует определить, при каком значении осевой сжимающей силы Р такое искривление возможно.

Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения, шарнирно опертый по концам; одна из опор допускает возможность продольного перемещения соответствующего конца стержня (рис.3). Собственным весом стержня пренебрегаем.

Рис.3. Расчетная схема в «задаче Эйлера»

Нагрузим стержень центрально приложенными продольными сжимающими силами и дадим ему весьма небольшое искривление в плоскости наименьшей жесткости; стержень удерживается в искривленном состоянии, что возможно, так как .

Деформация изгиба стержня предположена весьма малой, поэтому для решения поставленной задачи можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня. Выбрав начало координат в точке А и направление координатных осей, как показано на рис.3, имеем:

Возьмем сечение на расстоянии х от начала координат; ордината изогнутой оси в этом сечении будет у, а изгибающий момент равен

По исходной схеме изгибающий момент получается отрицательным, ординаты же при выбранном направлении оси у оказываются положительными. (Если бы стержень искривился выпуклостью книзу, то момент был бы положительным, а у — отрицательным и .)

Приведенное только что дифференциальное уравнение принимает вид:

деля обе части уравнения на EJ и обозначая дробь через приводим его к виду:

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

Это решение заключает в себе три неизвестных: постоянные интегрирования а и b и значение , так как величина критической силы нам неизвестна.

Краевые условия на концах стержня дают два уравнения:

в точке А при х = 0 прогиб у = 0,

Из первого условия следует (так как и cos kx =1)

Таким образом, изогнутая ось является синусоидой с уравнением

Применяя второе условие, подставляем в это уравнение

Отсюда следует, что или а или kl равны нулю.

Если а равно нулю, то из уравнения (2) следует, что прогиб в любом сечении стержня равен нулю, т. е. стержень остался прямым. Это противоречит исходным предпосылкам нашего вывода. Следовательно, sin kl = 0, и величина может иметь следующий бесконечный ряд значений:

где — любое целое число.

Отсюда , а так как то

и

Иначе говоря, нагрузка, способная удержать слегка искривленный стержень в равновесии, теоретически может иметь целый ряд значений. Но так как отыскивается, и интересно с практической точки зрения, наименьшее значение осевой сжимающей силы, при которой становится возможным продольный изгиб, то следует принять .

Первый корень =0 требует, чтобы было равно нулю, что не отвечает исходным данным задачи; поэтому этот корень должен быть отброшен и наименьшим корнем принимается значение . Тогда получаем выражение для критической силы:

(Здесь J—минимальный момент инерции поперечного сечения стержня.) Это — так называемая формула Эйлера для сжатого стержня с шарнирно-опертыми концами. Значению критической силы (3) соответствует изгиб стержня по синусоиде с одной полуволной [формула (2)]

Источник

Научная электронная библиотека

Лекция 12. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

Понятие об устойчивости и критической силе. Проектировочный и проверочный расчеты.

В конструкциях и сооружениях большое применение находят детали, являющиеся относительно длинными и тонкими стержнями, у которых один или два размера поперечного сечения малы по сравнению с длиной стержня. Поведение таких стержней под действием осевой сжимающей нагрузки оказывается принципиально иным, чем при сжатии коротких стержней: при достижении сжимающей силой F некоторой критической величины, равной Fкр, прямолинейная форма равновесия длинного стержня оказывается неустойчивой, и при превышении Fкр стержень начинает интенсильно искривляется (выпучивается). При этом новым (моментным) равновесным состоянием упругого длинного становится некоторая новая уже криволинейная форма. Это явление носит название потери устойчивости.

Рис. 37. Потеря устойчивости

Устойчивость – способность тела сохранять положение или форму равновесия при внешних воздействиях.

Критическая сила (Fкр) – нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости первоначальной формы (положения) тела. Условие устойчивости:

Устойчивость сжатого стержня. Задача Эйлера.

При определении критической силы, вызывающей потерю устойчивости сжатого стержня, предполагается, что стержень идеально прямой и сила F приложена строго центрально. Задачу о критической нагрузке сжатого стержня с учетом возможности существования двух форм равновесия при одном и том же значении силы решил Л. Эйлер в 1744 году.

Рис. 38. Сжатый стержень

Рассмотрим шарнирно опертый по концам стержень, сжатый продольной силой F. Положим, что по какой-то причине стержень получил малое искривление оси, вследствие чего в нем появился изгибающий момент M:

где y – прогиб стержня в произвольном сечении с координатой x.

Для определения критической силы можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением упругой линии:

(26)

Проведя преобразования, можно увидеть, что минимальное значение критическая сила примет при n = 1 (на длине стержня укладывается одна полуволна синусоиды) и J = Jmin (стержень искривляется относительно оси с наименьшим моментом инерции)

(27)

Это выражение – формула Эйлера.

Зависимость критической силы от условий закрепления стержня.

Формула Эйлера была получена для, так называемого, основного случая – в предположении шарнирного опирания стержня по концам. На практике встречаются и другие случаи закрепления стержня. При этом можно получить формулу для определения критической силы для каждого из этих случаев, решая, как в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение изогнутой оси балки с соответствующими граничными условиями. Но можно использовать и более простой прием, если вспомнить, что, при потере устойчивости на длине стержня должна укладываться одна полуволна синусоиды.

Рассмотрим некоторые характерные случаи закрепления стержня по концам и получим общую формулу для различных видов закрепления.

Рис. 39. Различные случаи закрепления стержня

Общая формула Эйлера:

(28)

где μ·l = l_пр – приведенная длина стержня; l – фактическая длина стержня; μ – коэффициент приведенной длины, показывающий во сколько раз необходимо изменить длину стержня, чтобы критическая сила для этого стержня стала равна критической силе для шарнирно опертой балки. (Другая интерпретация коэффициента приведенной длины: μ показывает, на какой части длины стержня для данного вида закрепления укладывается одна полуволна синусоиды при потере устойчивости.)

Таким образом, окончательно условие устойчивости примет вид

(29)

Рассмотрим два вида расчета на устойчивость сжатых стержней – проверочный и проектировочный.

Проверочный расчет

Порядок проверочного расчета на устойчивость выглядит так:

– исходя из известных размеров и формы поперечного сечения и условий закрепления стержня, вычисляем гибкость;

– по справочной таблице находим коэффициент понижения допускаемого напряжения, затем определяем допускаемое напряжение на устойчивость;

– сравниваем максимальное напряжение с допускаемым напряжением на устойчивость.

Проектировочный расчет

При проектировочном расчете (подобрать сечение под заданную нагрузку) в расчетной формуле имеются две неизвестные величины – искомая площадь поперечного сечения A и неизвестный коэффициент φ (так как φ зависит от гибкости стержня, а значит и от неизвестной площади A). Поэтому при подборе сечения обычно приходится пользоваться методом последовательных приближений:

– обычно в первой попытке принимают φ₁ = 0,5…0,6 и определяют площадь сечения в первом приближении

– по найденной площади A1 подбирают сечение и вычисляют гибкость стержня в первом приближении λ1. Зная λ, находят новое значение φ′1;

– далее, используя найденный φ′1, проверяют условие устойчивости, и если σmaxmax и [σу] значительно отличаются друг от друга (более чем на 5 %), следует повторить расчет, приняв во второй попытке

Выбор материала и рациональной формы сечения.

Выбор материала. Так как в формулу Эйлера из всех механических характеристик входит лишь модуль Юнга, то для повышения устойчивости стержней большой гибкости нецелесообразно применять высокопрочные материалы, так как модуль Юнга для всех марок сталей примерно одинаков.

Для стержней малой гибкости применение высокосортных сталей оправдано, так как с повышением предела текучести у таких сталей повышаются и критические напряжения, а значит и запас устойчивости.

Форма сечения. При проектировании стержней, работающих на устойчивость, следует выбирать такую форму сечения, чтобы гибкость стержня была одинаковой относительно обеих главных осей его сечения (условие равноустойчивости), а значит максимальный и минимальный моменты инерции такого сечения должны быть одинаковы Jmax = Jmin.

Кроме того, необходимо стремиться к получению при данной площади наибольших радиусов инерции. Для этого необходимо выбирать сечения, большая часть площади которых по возможности была удалена от центра тяжести (трубчатые, коробчатые сечения).

По степени рациональности известные сечения можно распределить следующим образом: трубчатое сечение, коробчатое, двутавровое, состоящее из швеллеров, квадратное, круглое, прямоугольное.

Рис. 40. Поперечные сечения, распределенные по степени рациональности

Источник

Глава 9. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

Под действием сжимающей силы стержень может утратить первоначальную форму равновесия и искривиться. Произойдет потеря устойчивости стержня. Наименьшая сила, при которой происходит потеря устойчивости, называется критической и определяется по формуле Эйлера:

где Е – модуль упругости материала стержня;

I_min– минимальный осевой момент инерции сечения стержня;

μ – коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления концов стержня (рис. 38);

l – длина стержня, μ ∙ l = l_пр – приведенная длина стержня.

Рис. 38. Значения коэффициента μ приведенной длины и критической

силы F_кр для сжатых стержней при различных способах закрепления концов

Напряжения, вызванные критической силой, называются критическими и определяются по формуле Эйлера:

,

где λ – гибкость стержня, , ( – минимальный радиус инерции сечения);

А – площадь поперечного сечения стержня.

Формула Эйлера применима при условии, что критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала . Обычно это условие выражают через гибкость стержня и записывают в виде

где – предельное значение гибкости, которое определяет границу применимости формулы Эйлера.

Формулой Эйлера можно пользоваться, если гибкость стержня , если , то пользоваться формулой Эйлера нельзя.

При значениях гибкости от 0 до 40 50 стержень настолько короткий, что практически разрушается при потере прочности, поэтому критическое напряжение равно пределу текучести: .

При значениях гибкости, лежащих в интервале ,стержень теряет устойчивость, деформируясь в упруго-пластической области, поэтому критическое напряжение определяют по эмпирической формуле Ф. С. Ясинского:

где а, b, с – коэффициенты, зависящие от материала и имеющие размерность напряжения. Они приведены в табл. 12.

Опытные коэффициенты для определения , МПа

Критическая сила является недопустимой для сжатых стержней.

Определение допускаемой сжимающей силы [F] производят двумя способами. Первый способ используется, когда для рассчитываемого стержня известны длина, способ закрепления концов, форма и размеры поперечного сечения, материал, коэффициент запаса на устойчивость. Вначале определяют критическую силу F_кр = s_кр ∙ А, а затем допускаемую силу [F]:

,

где [n_у] – допускаемый коэффициент запаса на устойчивость.

Значения допускаемых коэффициентов запаса на устойчивость [n_у] для различных материалов приведены в табл. 13.

Допускаемые коэффициенты запаса на устойчивость

для различных материалов

Материал	[ny]
Сталь Ст 3	1,8 3
Сталь Ст 5	1,8 3
Чугун	5 5,5
Сосна (сжатие вдоль волокон)	2,8 3,2

Второй способ основан на применении таблиц j (l). Сначала определяют гибкость стержня λ, затем по таблице находят j (l) и вычисляют [F] по формуле

где j – коэффициент уменьшения допускаемого напряжения при сжатии [s_с].

Значения коэффициента j в зависимости от гибкости λ и материала стержня приведены в табл. 14.

Для расчета критического напряжения, критической силы, допускаемой сжимающей силы и коэффициента запаса на устойчивость

можно использовать блок-схему, представленную на рис. 39.

Значение коэффициента продольного изгиба j (l)

для различных материалов

Практически расчет на устойчивость ведется с использованием коэффициента j – коэффициента уменьшения допускаемого напряжения при сжатии [s_с].

Условие устойчивости имеет вид

Расчет на устойчивость сводится к недопущению потери устойчивости, т.е. искривления стержня.

Подбор поперечного сечения стержня при заданных длине, сжимающей силе и материале выполняется с использованием таблиц значений j (l) методом последовательных приближений в следующем порядке.

1. Задают произвольное значение j. Например, полагают j = 0,5.

2. Вычисляют допускаемое напряжение на устойчивость:

3. Определяют площадь поперечного сечения из условия

4. Подбирают размеры сечения или номер профиля. Вычисляют

площадь А, минимальный момент инерции I_min, минимальный радиус инерции i_minпоперечного сечения.

5. Определяют гибкость стержня l.

6. Если гибкость стержня l > 220, то считают, что заданная сила

F равна допускаемой [F]:

,

где F_кр – критическая сила (определяется по формуле Эйлера), а n_у – коэффициент запаса на устойчивость (выбирается по табл. 13).

Тогда можно определить значение наименьшего момента инерции I_min по формуле

.

7. Если гибкость стержня l 220, то для полученной гибкости

8. Вычисляют действующее напряжение s = .

9. Вычисляют допускаемое напряжение [s_у] = j и ∙[s_с].

10. Сравнивают действующее напряжение с допускаемым, вычисляя относительную разницу k: k = .

11. Если k > 0, то имеем недонапряжение, если k 5%, то в качестве второго приближения берут

j₂ = j + j и и повторяют расчет, пока не будет выполняться условие |k| £ 5%.

Подбор сечения по изложенному алгоритму представлен в виде

В сопротивлении стержней продольному изгибу основную роль

играет гибкость стержня и, следовательно, величина наименьшего радиуса инерции сечения, поэтому существенным является вопрос не только величины площади сечения, как при расчете на прочность, но и формы поперечного сечения.

Для наиболее оптимального выбора сечения необходимо

конструировать сечение так, чтобы при определенной площади

величина наименьшего радиуса инерции была бы возможно большей. Для этого прежде всего следует стремиться к тому, чтобы центральные моменты инерции сечения были равны. Такой стержень будет оказывать одинаковое сопротивление потере устойчивости в любом направлении.

Далее, необходимо стремиться к получению при данной площади

наибольших центральных моментов инерции. Для этого надо разместить материал сечения по возможности дальше от центра тяжести. Этим условиям хорошо удовлетворяют трубчатое сечение или сечение, составленное из двух швеллеров, раздвинутых на определенное расстояние.

На выбор материала для сжатых стержней влияют два фактора:

Источник